天线增益与方向性

玻尔百科

定义

天线增益与方向性 是电磁学和天线工程中的核心概念，用于描述天线将射频能量集中在特定方向的能力。方向性是衡量天线功率聚焦程度的理想几何指标，而增益则是一个考虑了实际损耗与效率的实用参数。这些指标与天线的有效孔径密切相关，并且根据弗里斯传输方程，在实现长距离通信中起着至关重要的作用。

关键要点

增益是方向性与辐射效率的乘积，因此任何无源天线的增益永远不能超过其方向性。
提高天线增益的主要途径是将天线做得更大（相对于波长），或者将多个天线单元组成阵列以实现相干叠加。
弗林斯传输方程表明，天线增益是克服信号在远距离传播中平方反比衰减的关键因素，是实现深空通信的生命线。
天线设计充满了权衡，例如高增益通常伴随着窄波束宽度和对准要求高，以及尺寸与带宽之间的内在限制。

引言

在无线技术的世界里，从手机信号到探索宇宙边缘的深空探测器，天线扮演着无可替代的角色。然而，并非所有天线生而平等。它们引导和接收能量的效率千差万别，而描述这种“能量聚焦能力”的核心指标正是增益与方向性。许多人常常混淆这两个概念，不清楚理想理论与实际性能之间的关键差异。本文旨在澄清这些基本问题。我们将首先深入探讨增益与方向性的物理本质，解释它们如何从一个简单的类比（灯泡与激光笔）出发，通过严谨的数学定义得以量化。随后，我们将穿越多个学科领域，见证这些原理在深空通信、雷达系统、射电天文学乃至量子物理中的巨大威力。最后，通过精选的练习，您将有机会亲手应用这些知识。这趟旅程将揭示，一个看似普通的工程参数背后，蕴含着怎样深刻而统一的物理规律。让我们从第一章：原理与机制开始，揭开天线“专注度”的秘密。

原理与机制

想象一下，你站在一个漆黑的巨大洞穴里。你有两种光源可以选择：一个普通的100瓦灯泡，或者一个同样耗电100瓦的激光笔。灯泡会让整个洞穴笼罩在一片昏暗而均匀的光线中，你勉强能看清周围的轮廓。而激光笔呢？它会在远处的岩壁上投射出一个极其明亮的光斑，让你能清晰地看到那一点的每一个细节，但洞穴的其他地方依然是漆黑一片。

这两个设备消耗的能量完全相同，但它们分配能量的方式却截然不同。灯泡把能量“慷慨地”洒向四面八方，而激光笔则把几乎所有的能量都“吝啬地”集中在一个极窄的方向上。这个关于“能量集中度”的核心思想，正是理解天线增益与方向性的关键。

方向性：衡量天线的“专注度”

在天线的世界里，那个向所有方向均匀辐射能量的灯泡有一个专业的名字——理想化的各向同性辐射体 (Isotropic Radiator)。它是一个完美的、无方向性的点源，是我们在理论上用来比较所有真实天线性能的“黄金标准”。当然，就像完美的圆或绝对的零度一样，它在现实中并不存在，但它是一个极其有用的概念。

一个真实天线的性能，就在于它能在多大程度上“战胜”这个各向同性的灯泡。我们用辐射强度 $U$ 来描述天线在特定方向上单位立体角内辐射的功率，你可以把它想象成在那个方向上的“亮度”。显然，天线在不同方向上的亮度是不同的，这些亮度的分布图就构成了天线的辐射方向图。

现在，我们可以给天线的“专注度”一个精确的定义了，这就是方向性 (Directivity)，用符号 $D$ 表示。它被定义为天线在最亮方向上的辐射强度 $U_{max}$ 与其平均辐射强度 $U_{avg}$ 的比值。

D = \frac{U_{max}}{U_{avg}}

平均辐射强度是什么？就是把天线辐射的总功率 $P_{rad}$ 均匀地分布在整个球面的 $4\pi$ 立体角上。所以 $U_{avg} = P_{rad} / 4\pi$ 。因此，方向性的完整公式是：

D = \frac{U_{max}}{P_{rad} / (4\pi)} = \frac{4\pi U_{max}}{P_{rad}}

这个公式告诉我们一个非常直观的道理：要计算方向性，你需要知道两件事——天线在最强的方向上有多“亮”( $U_{max}$ )，以及它总共辐射了多少能量 ( $P_{rad}$ )。

让我们思考一个更有趣的问题。假设有两个天线，它们的最大亮度 $U_{max}$ 完全相同，但其中一个的辐射方向图非常宽，像个胖乎乎的甜甜圈；另一个则非常窄，像一支削尖的铅笔。哪一个的方向性更高？。

答案是那支“铅笔”。为什么？因为在拥有相同峰值亮度的情况下，更窄的波束意味着天线将能量更有效地集中在了主方向上，而在其他方向上“浪费”的能量更少。这意味着它的总辐射功率 $P_{rad}$ 会更小。根据上面的公式，当分子 $U_{max}$ 相同时，分母 $P_{rad}$ 越小，方向性 $D$ 就越大。所以，一个天线方向图的“尖锐程度”直接关系到它的方向性高低。

增益与效率：从理想走进现实

到目前为止，我们谈论的都是一个理想化的世界，假设所有输入天线的电能都完美地转化为了辐射出去的电磁波。但现实世界总会收取“过路费”。真实的天线材料有电阻，会发热，连接处会有损耗。这意味着输入给天线的总功率 $P_{in}$ 中，只有一部分变成了辐射功率 $P_{rad}$ ，另一部分则以热量的形式耗散掉了。

为了描述这种真实世界的性能，我们引入了另一个至关重要的概念——增益 (Gain)，用符号 $G$ 表示。它的定义与方向性非常相似，唯一的区别在于，它的分母不再是辐射功率 $P_{rad}$ ，而是我们实际输入的总功率 $P_{in}$ ：

G = \frac{4\pi U_{max}}{P_{in}}

你看，增益才是工程师在设计通信系统（比如为一个CubeSat小卫星建立与地面的可靠连接）时真正关心的指标。它衡量的是，相对于一个同样输入功率的理想各向同性天线，我们的天线在最强方向上表现得有多出色。

增益与方向性之间存在一个极其简单而深刻的关系。我们定义天线的辐射效率 $\eta_r$ 为辐射功率与输入功率之比，即 $\eta_r = P_{rad} / P_{in}$ 。将这个关系代入，我们得到：

G = \frac{4\pi U_{max}}{P_{in}} = \frac{P_{rad}}{P_{in}} \cdot \frac{4\pi U_{max}}{P_{rad}} = \eta_r D

这就是天线领域最基本的公式之一：增益 = 效率 × 方向性。

这个公式蕴含着一个根本性的物理法则。因为能量守恒，一个无源器件（即自身不产生能量的设备，如天线）的输出功率绝不可能超过输入功率，所以效率 $\eta_r$ 永远小于或等于1。这就直接导出了一个铁律：对于任何无源天线，其增益永远不能超过其方向性 ( $G \le D$ )。

因此，如果一家公司声称他们的无源天线的增益是3.8，而方向性只有3.5，你可以立刻判定这是不可能的，因为它意味着效率超过了100%，这违背了热力学第二定律。这种物理直觉是工程师最有力的工具之一。在实际工作中，工程师们常常通过分别测量增益和计算方向性，来反推出天线的辐射效率，以评估其制造工艺的好坏。天线内部的损耗，可以被非常简洁地等效为一个串联的损耗电阻 $R_L$ ，与代表有效辐射的辐射电阻 $R_r$ 竞争输入功率。效率就可以被漂亮地表示为 $\eta_r = R_r / (R_r + R_L)$ 。

顺便提一句，当工程师们处理跨越好几个数量级的功率或增益值时，他们喜欢使用一种对数标度——分贝 (dB)。它把复杂的乘除法变成了简单的加减法。例如，一个线性值为40的增益，换算成dBi（相对于各向同性天线的dB值）就是 $10 \log_{10}(40) \approx 16.0 \text{ dBi}$ 。上面的增益公式用分贝表示就是 $G_{dB} = D_{dB} + 10\log_{10}(\eta_r)$ 。

如何获得高增益？

既然我们知道了增益的重要性，那么如何才能制造一个高增益的天线呢？物理学为我们指明了两条主要道路。

道路一：做得更大（相对于波长而言）

想象一下用手在水盆里造浪。如果只用一根手指，你只能激起小小的涟漪。但如果你用一整块木板，你就能推动更多的水，形成一股强有力的波浪。天线也是如此。一个天线“捕获”和辐射电磁波的能力，与它的尺寸和电磁波的波长 $\lambda$ 之间的关系息息相关。

对于像抛物面大锅盖（碟形天线）这样的口径天线，其方向性与它的有效口径面积 $A_e$ 成正比，与波长的平方成反比：

D \approx \frac{4\pi A_e}{\lambda^2}

有效口径 $A_e$ 是指天线有效“收集”能量的面积，它等于天线的物理面积乘以一个口径效率 $\eta_{ap}$ 。这个公式告诉我们一个令人兴奋的事实：要获得极高的方向性，你要么把天线做得巨大无比（比如射电望远镜的几十米大锅），要么就让它工作在非常高的频率上（因为频率 $f$ 和波长 $\lambda$ 的关系是 $\lambda = c/f$ ，高频意味着短波）。

这就是为什么为同一面碟形天线更换一个工作频率更高的收发器，其方向性会显著提升。例如，将频率从4GHz提升到10GHz，即使口径效率略有下降，方向性的提升也可能是数倍之多。

道路二：团结就是力量

如果你无法制造一个巨大的单体天线，还有一个更聪明的办法：制造许多个小天线，然后把它们排成阵列，像一支纪律严明的军队一样协同工作。这就是天线阵列。

通过精确控制馈送到每个小天线单元信号的相位，我们可以让它们在某个特定方向上辐射的电磁波实现完美的相长干涉，把能量叠加起来，形成一个非常强的合成波束。在其他方向上，则让它们相互抵消。对于一个由 $N$ 个单元组成的理想线性阵列，其最大方向性竟然与单元数量 $N$ 成正比。这意味着，如果你将阵列的单元数量从4个增加到16个，其方向性（以及理想情况下的增益）就会变成原来的4倍，或者说增加了 $10\log_{10}(4) \approx 6$ dB。这是一种极具扩展性的强大技术。

工程师的“魔鬼交易”：没有免费的午餐

然而，物理定律在慷慨地给予我们强大工具的同时，也总是附带着一些“条款与条件”。在天线设计中，充满了各种权衡和取舍，不存在完美的“万能”天线。

增益 vs. 波束宽度：你想要一个极高增益的针状波束吗？可以，但你必须接受这个波束会非常窄，稍微对不准目标就会丢失信号。更糟糕的是，为了追求极致的口径效率（例如，在整个天线口径上施加均匀的激励），往往会产生很高的旁瓣——在主波束旁边出现一些不希望有的“小波束”，向错误的方向泄漏能量。工程师们常常会故意“牺牲”一点点增益，采用一种锥削分布的激励（比如中间强，两边弱的余弦分布），来换取更低的旁瓣和更“干净”的辐射方向图。这就像用一点点峰值亮度，换来一个更纯净的光斑。
尺寸 vs. 带宽：天线的尺寸也与它的工作带宽有着内在的联系。一个特定形状的天线（比如半波偶极子），当你按比例将其所有尺寸缩小一半时，它的谐振频率会加倍，但它的方向性几乎不变。然而，它能够有效工作的频率范围，即带宽，也会相应地按比例变窄。这个由物理学家 J. A. Wheeler 和 L. J. Chu 揭示的原理告诉我们，一个电学小尺寸的天线，其带宽必然很窄。你无法制造一个像手机SIM卡那么小，却能高效地收发从调频广播到5G信号所有频段的天线。
理想 vs. 混乱：也许最深刻的教训来自于大型相控阵天线。我们刚才说到，通过 $N$ 个单元的完美相干叠加，可以得到 $N$ 倍的增益。但“完美”是昂贵的。在现实中，制造和电路中的微小瑕疵，会给每个单元的信号引入微小的、随机的相位误差。这些看似无害的小误差，在成百上千个单元的累积下，会造成灾难性的后果。如果这些随机误差的统计方差为 $\sigma^2$ （ $\sigma$ 以弧度为单位），那么阵列的平均增益相比于理想情况，会下降一个因子 $e^{-\sigma^2}$ 。这个指数衰减关系是一个严酷的警告：大型复杂系统的相干性能对无序和混乱极其敏感。建造一个大型相控阵，不仅是在与电磁学定律打交道，更是在与热力学第二定律本身进行一场艰苦的战斗。

从灯泡与激光笔的简单比喻出发，我们一路走来，揭示了天线方向性与增益的物理本质，探索了提升它们的方法，并最终领略了隐藏在工程设计背后的深刻物理权衡。这趟旅程告诉我们，即使是像天线这样看似普通的工程造物，其背后也充满了物理定律的优美、严谨与和谐之美。

应用与跨学科连接

在前面的章节中，我们深入探讨了天线增益和方向性的基本原理。我们像解剖学家一样，仔细研究了这些概念的“骨骼”与“肌肉”——它们的定义、数学描述以及与辐射方向图的内在联系。现在，让我们换上探险家的帽子，走出理论的殿堂，去看看这些原理在广阔的现实世界中开创了怎样奇妙的图景。天线增益不仅仅是一个无量纲的数字或一个分贝值；它是工程师与科学家手中的一把钥匙，为我们解锁了跨越星辰大海的通信，让我们得以窥见宇宙的隐秘，甚至在经典电磁学与量子世界之间架起了一座意想不到的桥梁。

远距离对话的艺术：通信系统

想象一下，你正试图与一位身处遥远山峰另一侧的朋友交谈。你可以用尽全力大喊，但这既费力又效率低下。一个更聪明的办法是，用双手在嘴边围成一个“喇叭”，将声音的能量集中地朝朋友的方向传送。天线增益在无线电通信中所扮演的角色，与这个“喇叭”别无二致。它并不创造能量，而是将有限的能量巧妙地汇集到期望的方向。

这一原理的宏伟体现，莫过于深空通信。当“勇气号”火星车在火星表面蹒跚前行，或“旅行者”探测器在太阳系边缘回望地球时，它们赖以将珍贵数据传回地球的，正是高增益天线。这些任务中，发射功率受到严格限制（毕竟能源有限），而信号传播的距离却以亿公里计。在这种情况下，天线增因成为维系通信链路的生命线。描述这一过程的基本物理法则是著名的弗林斯传输方程(Friis transmission equation)：

$P_{r} = P_{t} G_{t} G_{r} \left( \frac{\lambda}{4 \pi d} \right)^{2}$

其中， $P_t$ 和 $P_r$ 分别是发射和接收功率， $G_t$ 和 $G_r$ 是收发天线的增益， $d$ 是它们之间的距离，而 $\lambda$ 是信号的波长。你会发现，接收功率会随着距离的平方（ $1/d^2$ ）迅速衰减，这是一个严酷的现实。然而，增益 $G_t$ 和 $G_r$ 却像强大的杠杆，将这微弱的信号“撬”回到可检测的水平。工程师们正是利用这个方程来设计通信链路，计算在给定的发射功率和接收机灵敏度下，一对天线能支持的最大通信距离。

当然，现实世界的设计充满了权衡。例如，为了补偿更远的距离，工程师或许会考虑提高信号频率。对于一个固定物理尺寸的天线（比如一个抛物面天线），其增益与频率的平方成正比。这意味着将频率加倍，增益可以提升四倍！但这并非“免费的午餐”，更高的频率可能意味着硬件成本的增加，以及对大气衰减等效应更加敏感。工程师必须在距离、频率、天线增益和发射功率等多个变量之间做出精妙的平衡，以实现最优的系统性能。此外，信号在穿过大气层时还会遭受吸收和散射，这在链路预算中必须作为一项额外的损耗来考虑。最后，即便能量足够，如果天线的极化方式与来波不匹配，通信效果依然会大打折扣。一个典型的例子是，用一根线极化天线去接收来自GPS卫星的圆极化信号，仅因极化失配就会损失一半的功率，即产生 3 dB 的损耗。这提醒我们，一场成功的远距离“对话”，需要每一个细节都精确无误。

雕刻电波：天线自身的工程学

高增益从何而来？答案在于对电磁波的精妙“雕刻”。正如透镜能汇聚光线，高增益天线也能将电磁波的能量汇聚成一束狭窄的波束。

最经典的高增益天线无疑是抛物面天线，也就是我们俗称的“锅盖”或“碟形天线”。它的工作原理与我们熟悉的光学望远镜反射镜如出一辙：将来自馈源的球面波反射成平面波，从而实现高度定向的辐射。其增益与天线的物理孔径面积 $A_p$ 成正比，与波长的平方 $\lambda^2$ 成反比。对于一个直径为 $D$ 的圆形抛物面天线，其理想增益可以表示为 $G = \eta_a (\frac{\pi D}{\lambda})^2$ ，其中 $\eta_a$ 是孔径效率，代表了实际天线与理想情况的接近程度。这个简单的公式蕴含着一个强有力的信息：要获得更高的增益，我们要么增大天线的物理尺寸 $D$ ，要么使用更短的波长（即更高的频率）。这正是为什么用于射电天文和深空通信的巨型天线，其直径动辄数十米的原因。

另一种强大的“雕刻”技术是天线阵列。想象一下，一个交响乐团中，单个小提琴的声音可能很微弱，但当所有小提琴手同步演奏同一个乐章时，它们的声音会因相干叠加而汇成一股洪流，传向远方。天线阵列正是基于同样的干涉原理。通过将多个简单的天线单元（如偶极子天线）按照特定的几何结构排列，并以精确控制的相位关系馈电，我们可以合成一个方向性极强的“虚拟”大天线。这种通过组合“元素方向图”和“阵因子”来预测阵列总方向图的方法，被称为方向图乘积原理。甚至，仅仅在单个天线上方放置一个反射面（如大地），利用其镜像的干涉效应，就可以显著地改变其辐射方向图，将能量从无用的方向（如地下）重新导向有用的方向（如天空），从而提高特定方向上的方向性。

用无线电波“看见”世界：雷达与遥感

天线不仅是通信的“嘴巴”和“耳朵”，更是我们探测世界的“眼睛”。在雷达系统中，天线增益扮演着双重关键角色。首先，发射天线需要高增益，将强大的电磁脉冲能量集中照射到目标上；然后，接收天线也需要高增益，从广阔空间中捕获目标反射回来的极其微弱的回波信号。在雷达方程中，收发增益 $G_T$ 和 $G_R$ 都是以乘积形式出现的，这意味着增益的提升对雷达探测距离的贡献是平方级的。在更普适的双基地雷达（Bistatic Radar）构型中，发射机和接收机位于不同地点，天线增益在决定系统性能方面同样至关重要。

更有趣的是，天线本身也可以成为雷达的“目标”。一个天线不仅接收电磁波，它也会散射电磁波。令人惊奇的是，一个天线对入射雷达波的散射强度（即其雷达散射截面 RCS）不仅取决于其物理结构，还极大地依赖于其终端连接的负载阻抗。当负载与天线阻抗共轭匹配时，入射能量被最大程度地吸收，散射最小；而当负载是开路或短路时，入射能量几乎被完全反射和再辐射，使得天线成为一个强散射体。这个现象在天线理论和电路理论之间建立了一座奇妙的桥梁，也揭示了“隐身技术”背后深刻的物理原理之一：要实现隐身，不仅要改变物体的外形，还要妥善处理其表面的电磁响应。

聆听宇宙：与天文学和热力学的交织

当我们将天线指向浩瀚的宇宙深处，试图捕捉来自遥远星系或宇宙微波背景的微弱信号时，挑战提升到了一个新的层次。在这种情况下，仅仅拥有高增益（ $G$ ）是不够的。接收系统自身的噪声，如同耳边的嗡嗡声，会轻易淹没这些珍贵的宇宙私语。因此，射电天文学家和通信工程师们更关心一个被称为“品质因数”（Figure of Merit）的综合指标： $G/T_s$ ，即天线增益与系统噪声温度之比。

系统噪声温度 $T_s$ 包含多个来源：天线“看到”的天空背景辐射（ $T_{sky}$ ），天线自身因内部损耗而产生的热噪声（与天线物理温度 $T_{phys}$ 和辐射效率 $\eta_r$ 相关），以及后续放大器和接收机电子设备引入的噪声（ $T_{rx}$ ）。一个高性能的接收系统，必须同时拥有高增益和极低的系统噪声温度。这 beautifully 地将天线理论、电磁波传播与热力学和统计物理联系在了一起。

更进一步，天线并非像针孔一样只从一个点接收信号。它的接收灵敏度由其辐射方向图决定。因此，天线测得的有效“天空温度”实际上是天空各处亮度温度分布，以天线自身的功率方向图为权重进行的加权平均。这意味着，一个高度定向的天线在观测一个微小的宇宙“热点”时，其最终测得的噪声温度，是该热点、周围冷的宇宙背景以及天线自身热噪声的复杂融合。

通往量子世界的桥梁

至此，我们讨论的应用似乎都属于宏观的经典世界。然而，天线理论的深刻性在于，它的触角甚至可以延伸到微观的量子领域。我们不禁要问：最小的天线是什么？答案或许是一个原子。

在量子力学中，原子从激发态跃迁到基态时会自发地辐射一个光子，这个过程的速率由爱因斯坦A系数（ $A_{21}$ ）描述。这是一个纯粹的量子概念。然而，通过一个半经典的类比，我们可以将这个进行电偶极跃迁的原子，看作一个微型的、以跃迁频率 $\omega_0$ 振荡的经典赫兹偶极子天线。令人拍案叫绝的是，通过将量子跃迁的平均辐射功率（ $\hbar \omega_0 A_{21}$ ）与经典偶极子天线的辐射功率（与其辐射电阻 $R_{rad}$ 相关）等同起来，我们可以在这两个看似截然不同的物理量之间建立直接的数学关系。这个优美的联系揭示了物理学惊人的统一性：支配着巨型射电望远镜辐射行为的经典电磁学定律，其回声竟然也存在于单个原子的量子跃迁之中。

我们何以知之？测量的艺术

最后，让我们回到一个根本性的实验问题：我们如何精确地知道一个天线的绝对增益？如果需要一个“标准天线”来校准，那么第一个“标准天线”的增益又是如何确定的呢？这似乎陷入了一个“先有鸡还是先有蛋”的困境。

答案在于一种被称为“三天线法”的巧妙测量技术。该方法仅需要三个未知的天线（我们称之为 $\alpha, \beta, \gamma$ ）。通过在受控环境下，轮流将它们两两配对进行三次独立的收发功率比测量（ $\alpha \to \beta$ , $\alpha \to \gamma$ , $\beta \to \gamma$ ），我们可以建立一个包含三个未知增益（ $G_\alpha, G_\beta, G_\gamma$ ）的方程组。通过简单的代数运算，我们就能求解出每一个天线的绝对增益，而无需任何预先校准过的参考标准。这种“自力更生”的绝对测量方法，不仅解决了天线计量的基本问题，也彰显了实验科学中蕴含的智慧与创造力。

从深空探测器到雷达系统，从射电望远镜到单个原子，天线增益和方向性这一核心概念如同一根金线，将工程、技术与不同尺度的基础科学紧密地编织在一起。它不仅是实现目标的工具，更是我们理解宇宙运行方式的一扇窗口，不断揭示着物理世界内在的和谐与统一之美。

动手实践

练习 1

掌握方向性定义的最佳方法之一是通过一个理想化的思想实验。本练习假设了一个只向上半球均匀辐射的天线。通过计算这种情况下的方向性，您将直接运用最大辐射强度与平均辐射强度之比的定义，从而牢固地建立对这一基本天线参数的直观理解。

问题: 一个理想化天线被设计用于地对空通信。它位于一个代表地面的、巨大的完全平坦的平面上。该天线被设计成将其所有功率向上辐射到地面上方的半球中，而没有功率向下辐射。在一个简化模型中，其辐射强度（用 $U$ 表示）被假定为对于上半球的所有方向都是完全均匀的，而对于下半球的所有方向则为零。

我们使用一个标准的球坐标系 $(r, \theta, \phi)$ ，其中原点位于天线处，xy平面代表地面，z轴指向天顶（垂直向上）。极角 $\theta$ 从天顶开始测量，所以 $\theta=0$ 表示正上方， $\theta=\pi/2$ 表示地平线。该天线的辐射强度由以下函数描述：

U(\theta, \phi) = \begin{cases} U_0 & \text{for } 0 \le \theta \le \pi/2 \\ 0 & \text{for } \pi/2 < \theta \le \pi \end{cases}

其中 $U_0$ 是一个常数，代表在任何向上方向上的辐射强度。

天线的方向性 $D$ 是一个基本的品质因数，定义为最大辐射强度 $U_{max}$ 与在整个球面的 $4\pi$ 球面度上计算的平均辐射强度 $U_{avg}$ 的比值。

计算这个理想化天线的方向性。您的答案应该是一个无量纲的数值。

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练习 2

在掌握了基本定义之后，我们来处理一个更接近实际的天线辐射模式。本练习提供了一个具有特定角度依赖性的辐射强度函数 $U(\theta) = U_{max} \sin^3(\theta)$ 。计算其方向性将要求您运用积分来确定总辐射功率和平均辐射强度，这是在给定天线远场特性时评估其性能的标准方法。

问题: 一种放置在原点并沿z轴对齐的特殊天线，其远场辐射强度 $U$ （单位立体角内的功率）具有方位对称性。它对与z轴的夹角（极角） $\theta$ 的依赖关系由下列表达式给出： $U(\theta) = U_{max} \sin^3(\theta)$ 其中 $U_{max}$ 是辐射强度的最大值。

计算该天线的指向性。将答案表示为闭式解析表达式。

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练习 3

单个天线的方向性是有限的，但我们可以通过组合多个天线元件来显著提高方向性，这就是天线阵列的原理。本练习探讨了一个由两个理想点源构成的简单阵列，通过精确控制它们之间的间距和相位差。通过分析这个阵列，您将亲身体验到相长干涉和相消干涉是如何塑造辐射方向图并实现更高方向性的，这是现代通信和雷达系统的核心技术。

问题: 考虑一个由真空中两个理想各向同性点源构成的简单天线阵列。天线沿 z 轴放置。第一个源位于原点 ( $z=0$ )，第二个源位于 $z = d$ 处，其中间距为工作波长的四分之一，即 $d = \lambda/4$ 。两个源由等幅电流驱动。馈送至 $z=d$ 处源的电流，其相比于原点处源的电流，相位超前 $90^\circ$ 。

您的任务是确定此二元天线阵列的方向性。单个孤立各向同性源的方向性定义为 1。

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