玻尔百科分子碰撞产生压强 是指由无数混乱的分子撞击所产生的统计平均力，这在宏观上表现为稳定的压力。在气体分子动理论中，该机制将压强与分子的平均动能联系起来，是推导理想气体状态方程以及解释真实气体行为的范德华方程的基础。这种基于动量传递的原理具有普适性，能够解释从恒星的流体静力平衡到光子气体所施加的力等物理现象。
我们每天都与压强打交道——从给轮胎充气到感受高海拔的耳鸣。但这个无处不在的物理量背后，隐藏着一个怎样的微观世界？宏观上平稳、持续的力，究竟是如何从微观层面无数粒子混乱、随机的运动中涌现出来的？这是一个连接了日常经验与物理学深刻原理的核心问题。
本文将带领你踏上一场从微观到宏观的探索之旅，系统地揭示压强源于分子碰撞这一基本事实。我们将首先在第一部分“原理与机制”中，从最简单的物理模型出发，通过统计的力量，一步步构建起气体动理论的框架，并从第一性原理推导出著名的理想气体状态方程。接着，在第二部分“应用与跨学科连接”中，我们将看到这一理论的触角如何延伸至天体物理、航空航天、化学和材料科学等广阔领域，解释从恒星结构到化学反应速率的诸多现象。通过这一过程，你将深刻理解，一个简单的物理思想如何成为解释和预测复杂世界现象的强大工具。
现在，让我们卷起袖子，从物理学家最钟爱的思想实验开始，深入探究这一现象背后的原理与机制。
在导言中，我们将压强想象成气体分子对容器壁持续不断的“轰击”。现在，让我们像物理学家一样，卷起袖子，深入探究这一现象背后的原理与机制。我们将从最简单的思想实验开始，一步步揭示压强这个我们习以为常的概念背后，蕴含的深刻物理规律和意想不到的普适之美。
想象一个最简单的宇宙：一根长度为 的直杆，两端是墙壁，中间只有一个质量为 的粒子，以恒定的速率 来回运动，就像一个永不疲倦的乒乓球。当它撞到一堵墙时，它会完美地反弹回来。
每次碰撞，粒子的动量都发生一次剧变。撞墙前的动量是 ，撞墙后变成了 （方向相反）。动量的变化量是 。根据牛顿第三定律，粒子传递给墙壁的冲量大小也是 。
那么，这个粒子多久撞击一次墙壁呢？它需要走一个来回，距离为 ，所以时间间隔是 。因此，它撞击墙壁的频率是 。
力，本质上是动量随时间的变化率。在这里，作用在墙壁上的平均力就是每次碰撞给予的冲量乘以碰撞的频率：
如果我们把 个这样的“乒乓球”放进这个一维盒子里，并且假设它们互不干扰，那么墙壁感受到的总平均力就是所有粒子贡献的力之和，。这个简单的模型告诉我们一个核心思想：宏观上持续不断的力，可以源于微观层面离散、重复的动量交换。
当然，真实的气体要复杂得多。分子们以不同的速率，向四面八方胡乱飞行，像一群没头苍蝇。单个分子的运动轨迹是完全随机和不可预测的。然而，当你将亿万个这样的分子（一升空气中大约有 个分子）放在一个容器里时，奇迹发生了：它们的集体行为变得异常稳定和可预测。你感受到的，是一个平滑、均匀、恒定的压强。
这种从微观的混沌中涌现出宏观秩序的现象，正是统计物理学的核心——“大数定律”的体现。就像瀑布的轰鸣声是由无数个别水滴撞击岩石的声音汇合而成一样，平稳的气压是无数次分子碰撞效应的宏伟平均。个体的随机性被庞大的群体数量所“抹平”，留下了一个确定的宏观性质。
如何从数学上处理所有方向的随机运动呢？我们可以先从一个巧妙的简化模型入手。想象一下，气体分子的运动方向被限制在连接一个立方体中心到其八个顶点的方向上。这是一个高度简化的“离散速度模型”，但它足以揭示本质。
让我们计算一面墙（比如垂直于 轴的墙）所受的压强。在这八个方向中，有四个是朝向这面墙的。对于任何一个撞向墙壁的分子，其速度在 方向的分量大小都是 。压强 是单位面积上所受的力，而力是单位时间内的动量转移。经过一番推导（它综合了单位体积内朝墙运动的分子数、碰撞频率和单次碰撞的动量转移），我们得到了一个非常漂亮的结果：
这里的 是单位体积内的分子数。这个结果与用更复杂的连续各向同性模型得到的结果完全一致！那个神秘的因子 并非偶然，它深刻地反映了我们生活在三维空间这一事实。它告诉我们，在所有分子的随机热运动中，总动能被平均地分配给了 、、 三个维度，任何一个方向都只占了总动能的三分之一。
这个“各向同性”（isotropy）的特性还带来一个极其重要的推论：压强产生的力总是垂直于它所作用的表面。想象一下，你在气体中放置一个微小的探测片。无论你如何倾斜这个探测片，它感受到的力永远是正对着它的“推力”。为什么？因为对于任何一个从某个角度撞击过来的分子，几乎总有另一个分子从对称的角度撞过来。所有侧向的、切向的力都相互抵消了，唯一剩下并累加起来的，就是垂直于表面的净推力。这正是为什么我们可以用一个简单的数值（一个标量）来描述某一点的压强，而不需要指明方向。压强就像一个来自四面八方的、无形的拥抱。
我们的公式 将压强与微观的分子运动速度联系起来了。这里的 代表所有分子速度平方的平均值。但我们无法直接测量这个微观量。在宏观世界里，我们测量的是温度。
物理学中最伟大的洞见之一，就是揭示了温度的微观本质。热力学中的温度，不过是分子平均动能的一个宏观度量。这就是著名的“能量均分定理”。对于一个理想气体，它们的关系极其简单：
其中 是绝对温度（以开尔文为单位），而 是玻尔兹曼常数，它就像一个“汇率”，把能量的单位（焦耳）和温度的单位（开尔文）联系起来。
现在，让我们把压强的公式和温度的公式结合起来，看看会发生什么。 从压强公式，我们有 。而根据温度的定义，。将后者代入前者，我们就得到了一个在化学和物理中无处不在的方程：
这就是理想气体状态方程！我们从一个简单的“乒乓球”模型出发，通过统计平均，最终从第一性原理推导出了这个宏观的实验定律。这条定律的美妙之处在于，它将气体的压强（）、体积（）、分子数（）和温度（）这四个宏观可测的量，用一个极其简洁的公式联系在了一起。这个原理的普适性甚至可以推广到二维系统，比如吸附在材料表面的分子层，在那里我们可以推导出相应的二维理想气体定律。
如果我们把两种不同的气体，比如氢气和氧气，混合在一个容器里，会发生什么？。一个重的氧分子和一个轻的氢分子，它们对总压强的贡献一样吗？
理想气体定律 已经给出了答案。它只关心粒子的总数 ，完全不关心粒子的质量 是多少。这意味着在相同的温度和体积下，100 个氢分子和 100 个氧分子产生的压强是完全相同的。总压强就是各个组分压强之和，这就是道尔顿分压定律。
这背后隐藏着一个精妙的物理机制，一个近乎完美的“补偿效应”。没错，在一次碰撞中，一个更重的分子确实能传递更多的动量。但别忘了，在相同的温度下，所有分子的平均动能是相同的。根据 ，质量 越大的分子，其平均速率 就越小。
所以，重分子就像一个重量级拳击手：出拳力道大，但移动和出拳的频率都慢。轻分子则像一个轻量级拳击手：出拳力道小，但移动迅捷，出拳频率高。最终，它们在单位时间内对墙壁造成的总“打击效果”（即压强）是完全一样的。在分子议会中，每一位成员，无论“体重”如何，都享有完全平等的投票权。
理想气体模型非常成功，但它毕竟是一个理想化的模型。它建立在两个关键的假设之上：分子是无穷小的点，且分子之间除了碰撞外没有任何相互作用。当我们面对高压和低温的真实气体时，这两个假设就不再成立了。
分子占据体积：真实分子不是数学上的点，它们有自己的“腰围”。这意味着分子们自由活动的空间，实际上比容器的体积 要小一些。这个“排斥体积”效应使得分子们变得更加“拥挤”，它们与墙壁的碰撞变得更加频繁。因此，真实气体的压强通常会比理想气体模型预测的更高。
分子间存在引力：分子之间还存在微弱的、长程的吸引力（范德华力）。在气体内部，一个分子被四面八方的同伴吸引，合力为零。但一个靠近墙壁的分子，会感受到来自气体内部“大部队”的一个净拉力，把它向回拉。这个向内的拉力就像一个刹车，使得分子撞向墙壁时的速度减小了，传递的动量也随之减小。因此，分子间引力效应会使真实气体的压强比理想气体预测的更低。
这两个效应——一个使压强升高，一个使压强降低——构成了著名的范德华方程的基础，它是我们迈向理解真实气体和液体行为的第一步。
我们建立的这套关于压强的动理论，其适用范围远不止普通气体。它是否也适用于光？
是的！光由光子组成，而光子也携带动量。因此，光也会产生压强，即辐射压。在我们的日常生活中，辐射压微乎其微，但在恒星的炽热核心，它强大到足以支撑起整个恒星，抵抗自身巨大的引力。
那么，一个“光子气体”产生的压强和一个普通原子气体有何不同？。让我们再次回到压强的基本公式，它大致可以写为 ，即粒子数密度乘以“动量-速度”乘积的平均值。
这意味着，在相同的能量密度下，普通气体产生的压强是光子气体的两倍！这个差异的根源，在于不同粒子能量-动量关系的根本不同。
更令人惊叹的是，物理学家们能够写下一个统一的、优美的方程，它囊括了从低速运动的粒子到接近光速运动的相对论性粒子的所有情况。这个相对论气体状态方程，可以平滑地从非相对论极限（, 为总动能）过渡到极端相对论极限（, 为总能量）。
从一个在一维盒子里弹跳的小球的简单图像开始，我们的旅程最终抵达了恒星的核心和相对论的疆域。然而，贯穿始终的物理原理却惊人地保持不变：压强是微观世界无数次碰撞在宏观世界的集体回响，是物理定律深刻统一性的又一个辉煌见证。
在前面的章节中，我们已经深入探讨了那个看似简单却又无比深刻的观点：宏观世界中无处不在的“压力”，其本质源于微观世界里无数分子永不停歇的碰撞。这就像一场宏大的交响乐，由亿万个微小粒子不知疲倦地敲击着宇宙的鼓面。
现在，让我们像一位好奇的探险家，跟随这个基本思想，开启一段跨越学科边界的奇妙旅程。如果分子碰撞真的是如此基础的物理机制，那么它的影响绝不应仅仅局限于解释轮胎里的气压。它必须是更宏伟画卷的核心，从恒星如何维持自身结构，到火箭如何在太空中飞行，再到化学反应发生的速率，都应能觅得其踪迹。让我们一同出发，看看这个简单的想法究竟能将我们引向何方。
想象一下，气体分子就像一群精力旺盛、试图四处散开的顽童。现在，如果有一个外部的力场，比如重力，试图将它们拉到一处，会发生什么？一场“拉锯战”就此展开。分子的热运动（熵的体现）驱使它们均匀分布，而力场则试图将它们有序排列。最终的结果是一种动态平衡，这种平衡在自然界和人类科技中都留下了深刻的印记。
最熟悉的例子莫过于我们赖以生存的大气层。为什么海拔越高，空气越稀薄？我们可以想象在空中取一个薄薄的水平气层。它自身的重量会使它下落，但下方气压更高，来自下方分子更频繁、更有力的碰撞产生了一个向上的推力。当这两个力达到平衡时，气体就达到了所谓的“流体静力学平衡”。通过这种平衡分析，我们可以推导出一个优美的关系——大气密度和压强随海拔高度呈指数衰减，这就是气压公式。这个原理的适用范围远不止地球大气。在更宏大的尺度上，同样的物理定律支配着恒星的结构。像太阳这样的恒星，其内部由核聚变产生的巨大热压力，恰好抵消了自身强大的引力向内的挤压，从而在数十亿年的时间里维持着稳定的平衡。这是一场在宇宙尺度上，由分子（或等离子体）碰撞所支撑的、对抗引力坍缩的史诗级拔河。
我们不必非得借助一颗行星来观察这种效应。通过高速旋转一个装有气体的容器，我们就能在实验室里创造出“人造重力”。在气体离心机中，分子会感受到一个将它们推向外壁的离心力。同样的平衡逻辑再次上演：气体内部会建立起一个由外向内的压力梯度来对抗这个离心力。更有趣的是，质量较大的分子受到的离心力更强，因此它们会更显著地聚集在外壁附近。正是利用这种由分子质量差异在旋转力场中导致的微小密度差异，我们能够有效地分离同位素（例如用于核电站的铀-235和铀-238），这充分展现了微观碰撞在宏观分离技术中的巨大威力。
这种平衡思想具有惊人的普适性。力场不必是引力或惯性力。想象一团带电的离子气体被置于电场中，同样的故事会再次上演。离子在电场力的作用下被推向一侧，而分子碰撞则建立起一个反向的压力梯度来与之抗衡。最终，离子的密度会在一个电极附近聚集起来，其分布同样遵循着与重力场和离心力场中类似的指数规律。这个原理在工业废气处理中的静电除尘器等设备里扮演着核心角色。
那么，磁场呢？磁场同样能对运动的带电粒子施加洛伦兹力。直觉似乎告诉我们，磁场也应该能在等离子体中产生压力差。然而，大自然在这里给了我们一个惊喜。洛伦兹力的一大特点是它永远垂直于粒子的运动方向。这意味着磁场可以使粒子的轨迹弯曲（比如形成螺旋线），但它本身从不对粒子做功，因此无法改变粒子的动能。既然粒子的能量分布没有改变，那么在热平衡状态下，气体依然遵循着各向同性的麦克斯韦-玻尔兹曼分布。结果就是：压强在所有方向上依然是相等的，就好像磁场完全不存在一样！。这是一个深刻而优美的教训：我们必须深入探究物理的本质（例如功和能量的传递），而不能仅仅停留在表面的力学分析。这一看似违背直觉的结论，对于理解和实现可控核聚变中的等离子体约束至关重要。
从静态的平衡转向动态的场景，分子碰撞的角色从“支撑者”变成了“推动者”或“阻碍者”。这时，我们关注的不再是力的平衡，而是动量的净转移。
设想一下在空无一物的太空中，火箭如何前进？它通过向后喷射物质来获得向前的动力。每一个被喷出的气体分子都带走了一份微小的向后的动量，根据动量守恒定律，火箭本身则获得一份向前的动量。无数分子的集体“离去”，最终汇集成强大的推力。即便是为微小卫星设计的“冷气推进器”，其推力也可以通过精确计算每秒钟通过喷口的气体分子所带走的全部动量来得出。火箭的推力并非来自于“推”后面的什么东西，而是动量守恒在微观碰撞世界里的必然结果。
反之亦然。在近地轨道飞行的卫星，虽然身处极其稀薄的高层大气，但并非绝对真空。它在高速运动中会不断“撞上”零散的空气分子。每一次碰撞，即使分子只是附着在卫星表面，也将其相对于卫星的动量传递给了卫星。这场看似微不足道的“微观撞击雨”，累积起来就形成了持续的、微小的阻力，它会如同不知疲倦的“刹车”一样，慢慢地消耗卫星的轨道能量，最终导致轨道衰减。
我们还可以主动驾驭这种动量流。在分子束外延（MBE）或物理气相沉积（PVD）等先进材料制造技术中，科学家在超高真空中加热源材料，使其蒸发形成一束原子或分子束。这束粒子流像精准的“分子画笔”，飞行并沉积在基底材料上，逐个原子地“搭建”起全新的功能材料薄膜。这束由海量原子组成的粒子流，在撞击基底时同样会产生压力。这个压力的大小直接反映了原子到达的速率，它如同一座桥梁，将微观的碰撞事件与宏观的材料生长过程紧密地联系在一起。
分子碰撞的意义远不止于动量交换。它们可以更深刻地改变世界，比如触发化学键的断裂与形成，或者改变物质与光的相互作用方式。
声音的本质是什么？从宏观上看，声波是一系列压缩和稀疏区域的传播。而在微观层面，一个“压缩区”仅仅意味着那里的分子暂时变得更密集了一些。在给定的微小空间里，分子密度越高，它们撞击任何表面（无论是真实的墙壁还是我们想象的界面）的频率就越高，从而产生更大的压强。因此，声波本质上就是一场压强（或分子碰撞频率）的脉动，以波动的形式在介质中传播开来。
碰撞甚至可以创造和毁灭。想象一个装有双原子分子（）的容器，其中一面墙壁是特殊的“催化剂”，任何撞上它的 分子都会瞬间分解成两个独立的 原子，然后被释放回气体中。一个入射的 分子（质量为 ）携带特定的动量撞向墙壁。而从墙壁飞出的则是两个 原子（每个质量为 ）。即使温度保持不变，这两个出射的粒子所带走的平均总动量，也与那个入射的粒子不同。这种动量流的不对称性意味着，催化壁所承受的压力将不同于普通惰性壁所承受的压力！ 这揭示了一个惊人的事实：压力不仅仅是一个纯粹的物理量，它还与发生在表面的化学反应过程息息相关。
这个思想在化学动力学领域得到了更深远的发展。一个分子要自发分解（单分子反应），它首先需要获得足够的内能来挣断自身的化学键。能量从何而来？主要就来自于与其他分子的碰撞。因此，整个反应的速率取决于一场竞赛：分子通过碰撞被“激活”的速率，与被激活后发生反应的速率之间的竞争。在低压下，碰撞稀疏，反应速率受限于缓慢的激活过程。而在高压下，虽然有很多分子被激活，但它们也很可能在来得及反应之前，就通过另一次碰撞而被“失活”。这种激活与失活的竞争，导致了单分子反应速率对压力有着奇特的依赖性，即所谓的“压力降落”效应。理解这一效应是掌握从大气化学到工业催化反应等众多领域反应机理的关键。
碰撞的“回声”甚至可以被“看”见。原子或分子在吸收或发射光子时，通常对应着非常精确的频率，在光谱上表现为一条尖锐的谱线。然而，如果在发光或吸光的过程中，该原子或分子与其他粒子发生了碰撞，其量子态就会受到扰动，能量状态发生微小的改变，或者相干性被破坏。这种扰动会导致原本清晰的谱线变得模糊、展宽，这就是碰撞展宽（或压力展宽）。谱线展宽的程度，就像一个“压力计”，直接反映了气体中分子的碰撞频率。一个绝佳的例子是比较同一种极性分子的转动谱线和电子谱线。分子的转动状态（涉及其整体的旋转姿态）对长程的电相互作用力很敏感，即使是远距离的“擦身而过”式碰撞也能扰动它。而电子状态（涉及紧密束缚在原子核周围的电子云）则要“迟钝”得多，只有在发生近距离的“硬碰硬”式碰撞时才会受到显著影响。这意味着，导致转动谱线展宽的有效“碰撞截面”要大得多，因此其压力展宽效应也远比电子谱线显著。通过分析遥远恒星光谱中谱线的形状，天文学家就能推断出其大气层的压力和密度！
分子碰撞的故事还有更多精妙和出人意料的篇章，它们将我们的视野带入纳米世界和统计物理的深邃殿堂。
我们通常对气体的想象是：分子与分子之间的碰撞远比它们与容器壁的碰撞频繁。但如果容器的尺寸变得极小（比如在纳米多孔材料中），或者气体极其稀薄，情况又会如何？此时，分子的平均自由程（两次连续碰撞之间飞行的平均距离）可能变得比孔道直径还要大。我们便进入了一个全新的物理区域——克努森（Knudsen）区域。在这里，分子与墙壁的碰撞成为了主导。扩散不再是在其他分子中“挤”出来的随机漫步，而更像是在一个弹球机里不断与墙壁反弹。这彻底改变了物质在多孔催化剂、过滤膜以及微流控芯片中的输运方式。同样，在分子束外延技术中，为了生长出原子级平整的完美晶体，科学家必须创造出平均自由程远大于设备尺寸的超高真空环境，以确保原子能像子弹一样直线飞行，中途不与背景气体发生任何碰撞。可以说，掌握碰撞的频率，就是掌握纳米科技的关键。
著名的克鲁克斯光压辐射计（Crookes radiometer）在光照下会旋转，它那涂黑的一面似乎被光“推”着。然而，其背后的真正驱动力远比光压更为微妙和强大。在稀薄气体中，当光照射到辐射计的叶片上时，吸收光更好的黑色面温度会升高。撞击到这个“热”面的气体分子会以更高的平均速度和动量反弹出去，而撞击到较“冷”的银色面的分子则不然。正是这种由温差导致的出射分子动量不对称，产生了一个微小的、持续的推力，驱动着叶片旋转。这并非光的压力，而是气体分子碰撞的压力，因温度不均而展现出的奇妙效应。
让我们以一个统计物理学中至美且深刻的思想来结束这次旅程。想象一个浸在气体中的活塞。如果我们用外力将其固定不动，由于分子碰撞是离散和随机的，活塞感受到的力会在一个平均值附近不停地微小“抖动”或涨落。现在，如果我们释放活塞并试图以一个缓慢的速度推动它，我们会感受到一个稳定的阻力，即耗散（或粘性）。
涨落-耗散定理——现代物理学的基石之一——告诉我们，这两个现象其实是同一枚硬币的两面。活塞静止时所经历的力的随机涨落的强度，与它运动时所感受到的耗散阻力的大小，被一个简单的正比关系联系在一起，比例系数只与温度有关。这意味着，造成系统在平衡态下产生热噪声的微观分子碰撞，也正是那个当系统偏离平衡时使其运动受到阻碍并最终回归平衡的根源。宇宙不仅是强大的，它也是极为“经济”的：产生随机“踢动”的机制与产生稳定“拖拽”的机制，本是同源。
我们的旅程始于一个简单的图景：气体分子撞击墙壁。而终点，我们发现这个简单的想法竟能一路引导我们理解恒星的结构、同位素的分离、火箭的推进、化学反应的速率、星光的“颜色”，乃至摩擦与热噪声之间深刻的内在联系。
“压力源于分子碰撞”——这不仅仅是热力学教科书中的一个公式。它是一条金线，将天体物理、航空航天、材料科学、化学动力学和基础物理学等诸多领域巧妙地编织在一起。它时刻提醒我们，宇宙间那些宏伟壮丽的现象，其背后都遵循着由最微小粒子那场永恒、狂热而无形的舞蹈所谱写的规则。
我们感受到的宏观压力，其本质是大量微观粒子持续碰撞的累积效应。这项练习将为我们搭建一座连接微观与宏观世界的桥梁。通过计算一束理想化的分子束撞击壁面时产生的压力，我们将掌握在弹性碰撞中动量如何转移并最终产生压力的基本原理。
问题: 一台深空推进系统的原型机通过喷射一束由相同的、不相互作用的粒子组成的高度准直的粒子束来运作。为了表征该粒子束的特性，一块平坦的刚性测量板被放置在真空室内的粒子束路径上。该粒子束由质量为 的粒子组成，并以匀速 运动。粒子束内粒子的数密度为常数 。
测量板的放置方向使其表面与粒子束的速度方向成 度角。假设粒子与板之间的碰撞是完全弹性的，并且粒子束足够宽，可以覆盖整个板面。
确定该粒子束施加在板表面上的稳态压强 的符号表达式。答案请用给定参数 、 和 表示。
在基础模型之上，这个实践引入了两个更贴近现实的复杂层面：真实世界中的粒子速度并非单一，而是遵循某种分布；同时，物体表面也并非总是完美弹性的。该问题要求我们计算一束具有特定速度分布的粒子流，在撞击一个完全吸收性的表面时产生的压力。这能加深我们对处理统计分布以及不同表面相互作用类型的理解。
问题: 一个特殊设计的表面被用作完美的动量阻尼器。该表面被建模为一个面积为 的静止平板，它会完全吸收任何撞击其上的粒子。一束由质量为 的无相互作用粒子组成的准直粒子束垂直射向该平板。束中的粒子速度不尽相同。相反，它们的通量由一个微分数通量分布 描述，该分布表示单位时间、单位面积上速度在 到 区间内的粒子数量。该分布由以下函数给出：
此关系对速度在 范围内的粒子有效，对于此范围外的速度，通量为零。参数 是一个正常数。
确定粒子束施加在平板上的总压强。用 、、 和 的符号表达式来表示你的答案。
现在，让我们从一维的粒子束模型过渡到容器中的三维气体。这个练习探索了一个引人入胜的场景：一种各向异性的气体，其分子在某个方向上的平均动能比其他方向更高。通过计算气体对容器不同壁面产生的压力，我们将直接看到宏观压力 是如何精确对应于特定方向 上的分子平均动能 的，这是气体动理论的一个核心洞见。
问题: 一种稀薄单原子气体被限制在一个刚性矩形容器内，其壁面与笛卡尔坐标轴对齐。该气体受到一个外部能源的作用，使其保持在一种稳态，但在这种状态下分子速度的分布是各向异性的。气体分子速度分量平方的统计平均值满足关系式 和 。
设 、 和 分别表示气体对垂直于 x、y 和 z 轴的壁面所施加的压强。在此各向异性系统中，气体的总热力学压强 定义为各个壁面上压强的算术平均值：。
确定比值 的数值。