玻尔百科描述材料如何变形和抵抗力是连续介质力学的核心目标。然而，当一个物体同时发生变形和转动时，一个重大的挑战便随之而来：我们如何将内应力的真实变化与仅由物体在空间中翻滚引起的表观变化分离开来？这个“观察者困境”意味着，简单直观的物理定律常常失效，它们会预测纯转动产生应力，而这在物理上是矛盾的。为了建立无论观察者如何运动都普遍适用的定律——即所谓的客观性概念——我们需要一个更复杂的工具。
本文将介绍共旋速率，这是一种精妙的解决方案，为变形材料的变化提供了客观的度量。首先，在“原理与机制”一章中，我们将探讨客观性的基本问题，了解共旋速率是如何被构造出来以解决该问题，并考察不同类型的率，如 Jaumann 率和 Green-Naghdi 率。随后，“应用与跨学科联系”一章将展示此概念在实际领域中的重要作用，说明它如何在计算工程中实现逼真的模拟，以及同一思想如何统一我们对从金属到液晶等不同材料的理解。
想象你是一位微观物理学家，你的实验室是嵌在一块太妃糖里的一粒微尘。当一个巨人拉扯并扭转这块糖果时，你的世界陷入了一片混乱。它被拉伸、剪切、翻来覆去地滚动。作为一名优秀的物理学家，你的任务是写下描述太妃糖如何变形——即它如何抵抗拉伸——的定律。但你如何能将纯粹的拉伸与你整个实验室都在太空中疯狂旋转这一事实区分开来？如果你测量附近一粒微尘的速度，它是在远离你，是因为太妃糖在拉伸，还是仅仅因为你们都在一个旋转的木马上？这就是描述连续介质力学中变化的核心问题，而其解决方案是该领域中最优雅的思想之一：共旋速率。
让我们把这个思想实验说得更精确一些。材料中的应力状态——一种内力的度量——由柯西应力张量（我们可以称之为 ）来描述。描述该应力如何随时间变化的最自然的方法是使用物质时间导数 ，它追踪我们跟随一个特定材料质点时的变化率。一个简单直观的本构律可能会说，应力的变化率与变形率成正比。
但这种直观的方法会导致一个惊人的失败。考虑一个仅以恒定角速度像陀螺一样旋转的固体，其形状和大小都没有改变。由于物体没有变形，我们的直觉强烈地告诉我们，材料中的应力不应发生变化。然而，如果我们使用一个朴素的定律，如 （其中 是速度梯度），我们会发现它预测了一个非零的 ！这似乎表明，仅通过旋转行为，应力就无中生有了。
这是一个物理上的矛盾。问题在于，我们简单的物质时间导数 并不客观。它不仅测量了材料内部的变化，还捕捉了由于材料本身刚性转动引起的变化。它将变形的物理学与转动的运动学混为一谈。一个有效的物理定律必须独立于这种刚性运动；无论我们是从一个固定的实验室观察这个旋转的陀螺，还是从一个随之一起旋转的坐标系中观察，它都必须给出相同的结果。这就是材料坐标系无关性原理，它要求我们找到一个客观应力率。
解决方案既简单又巧妙：如果旋转是问题所在，那么我们就不要再从固定的“地面”上观察了，而是在一个与材料完全同步旋转的概念性旋转木马上建立我们的实验室。这就是共旋坐标系。通过在这个旋转坐标系中描述物理过程，物体整体旋转所带来的混淆效应便消失了，使我们能够看清纯粹的变形变化。
在数学上，这意味着我们要“修正”那个朴素的物质时间导数。材料的瞬时旋转由自旋张量 描述，它是速度梯度 的反对称部分。最简单的共旋速率，称为Zaremba–Jaumann 率（或简称 Jaumann 率），定义为：
修正项 精确地抵消了纯旋转产生的应力变化。如果我们回到那个旋转但不变形的物体，我们会发现 Jaumann 率恰好为零，即 ，从而恢复了物理上的一致性。这种定义一个对刚性转动不敏感的率的过程，正是客观性的精髓。Jaumann 率测量的是一个与材料质点局部邻域一同旋转的观察者所看到的应力变化率。
现在，一个有趣的问题出现了：自旋张量 是我们那个共旋旋转木马的唯一选择吗？答案是否定的，这导致了整整一个“动物园”的不同客观率，每一种都有其自身的物理诠释和数学依据。
Green–Naghdi 率：物体的总变形由变形梯度 捕捉。力学中的一个基本定理，即极分解，告诉我们任何变形都可以唯一地分解为一个纯拉伸后跟一个纯转动：。在这里， 代表材料纤维本身的转动。我们可以认为，这个转动 定义了一个比与自旋张量 相关联的那个坐标系在物理上更内在的旋转坐标系。这个“材料”坐标系的自旋由 给出。通常情况下，这个自旋 与连续介质自旋 是不同的。在我们的修正公式中使用 便得到了 Green–Naghdi 率。对于许多实际问题，如材料的大剪切，Green–Naghdi 率能给出更符合物理实际的结果，避免了使用 Jaumann 率时有时可能出现的非物理应力振荡。
Truesdell 率：我们可以从另一个完全不同的方向来处理这个问题。柯西应力 代表单位当前面积上的力。随着材料变形，这个面积会拉伸、旋转和改变大小。一个更基本的方法可能是定义一个率，来考虑应力张量的这种对流和“稀释”效应。这种思路导出了 Truesdell 率。它的定义 更为复杂。与仅依赖于速度梯度自旋部分的 Jaumann 率不同，Truesdell 率依赖于完整的速度梯度 ，在其定义中就考虑了拉伸（）和体积变化（）。它是将应力张量拉回到参考构型然后再推回当前构型时自然出现的率。
选择使用哪种率并非任意；它会产生实际的后果。例如，在计算力学中，客观率的选择会影响一致性切线模量——即在数值模拟中用于求解材料响应的刚度矩阵——这可能会改变模拟的收敛性和准确性。
面对所有这些不同的率，人们可能会担心物理学变得模棱两可。但在这里，大自然揭示了一个优美而统一的简单性。让我们回到最初引发我们探索的问题：一个物体在进行纯刚性转动，没有变形（）。在这种简单情况下，这些不同的率对于应力的演化会作出怎样的预测？
事实证明，对于这种特定的运动，Jaumann 率、Green-Naghdi 率和 Truesdell 率在数学上变得完全相同！它们都简化为同一个微分方程：。这个方程的解就是 ，它表明应力张量只是随物体刚性转动。这是一个深刻的结果。尽管这些率源于不同的物理论证，在复杂变形中的行为也不同，但它们在基本原则上是一致的：它们都正确地处理了纯转动，而这正是它们被发明出来要解决的问题。这展示了该理论背后深刻的一致性。
共旋框架是分析经历大转动但只有小或中等应变的材料的强大工具。通过滤除大的刚体转动，它允许我们在局部的旋转坐标系中使用更简单的小应变本构律。
然而，这种魔法有其局限性。整个框架都基于局部变形是小的这一假设。如果我们的那块太妃糖不仅在旋转，还被拉伸到其原始长度的两倍，会发生什么？在这种情况下，应变不再是小的（100%的应变！）。在共旋坐标系中使用的小应变度量和加法分解的塑性模型将完全失效。它们不再是准确的运动学度量，它们违反了能量共轭的热力学原理，并且无法捕捉有限塑性变形的复杂物理过程。
到此，共旋小应变假设必须被放弃。我们被迫转向一个完全的有限应变理论，采用更复杂的应变度量（如 Green-Lagrange 应变或对数应变）和基于变形梯度乘法分解（）的运动学上正确的塑性模型。客观性的概念仍然绝对关键，但它被嵌入到一个更强大、更通用的数学结构中。理解一块扭曲的太妃糖的旅程，将我们带入连续介质力学这个美丽而复杂的世界的更深处。
现在我们已经掌握了共旋速率的原理和机制，我们可能会很自然地问一个问题：那又如何？这套优雅的数学机制究竟有何用途？它是一个虽美但却抽象、仅限于理论家黑板上的概念吗？你可能会很高兴地听到，答案是响亮的否定。客观率的概念不仅仅是一个理论上的讲究；它是一个至关重要且强大的工具，使我们能够描述和预测物理世界在各种应用中的行为，从汽车碰撞到智能手机闪烁的屏幕，范围惊人。它是那种一旦被理解，就能揭示科学和工程中看似不相关的角落之间隐藏联系的奇妙统一概念之一。
让我们开始我们的旅程，想象自己是一个微小的观察者，一粒嵌在黏土块中的微尘。这块黏土正同时被挤压、拉伸和扭转。从我们的视角看，一切都在令人眩晕地旋转运动。我们如何才能弄清楚，我们的近邻区域到底被真实变形了多少——那部分引起内阻力的变形——而不是我们仅仅被动地翻滚和旋转了多少？这正是共旋速率解决的基本问题。它为我们的观察者提供了一个“非旋转”的参考系，一种测量纯拉伸率和剪切率的方法，不受材料刚性旋转的污染。它使我们能够写下客观的物理定律，这些定律不依赖于观察者的任意旋转。
在工程领域，尤其是在汽车、飞机和建筑的设计中，我们常常依赖计算机模拟来测试材料和结构在极端应力下的行为。对于非常小的变形——比如你体重下地板托梁的轻微弯曲——数学处理相对简单。但对于汽车碰撞中的剧烈大变形、将金属板折叠成复杂零件的精巧工艺，或是冰川缓慢而巨大的蠕变，情况又如何呢？在这里，材料不仅会拉伸，还会发生剧烈的旋转。
如果我们天真地试图通过将应力的简单时间导数与拉伸率相关联来建立模拟，我们将得到灾难性的错误答案。即使我们只是旋转一个物体而不使其变形，模拟也会预测出应力的产生！这是因为，正如我们所见，简单的时间导数混淆了变形引起的真实应力变化和纯粹由物体旋转产生的“表观”变化。材料的本构律——即其抵抗变形的规则手册——必须是客观的。它不能依赖于观察者的旋转视角。
这正是共旋速率成为故事主角的地方。在现代计算工具如有限元法（FEM）或物质点法（MPM）中，模拟对象中每个小单元的应力是随时间增量更新的。为了正确地做到这一点，模拟必须使用一个客观应力率，例如 Jaumann 率。该算法本质上是说：“要计算新的应力，需要在旧应力的基础上增加一个变化量。但这个变化量必须只基于运动中纯拉伸的部分来计算，而不是旋转部分”。
在实践中，这是通过精妙的数值方案实现的。一种常见的方法是在计算上对变化的材料单元进行“反向旋转”，在这个非旋转的坐标系中根据材料的物理定律施加拉伸，然后将结果“重新旋转”回全局坐标系。这个过程通常涉及像矩阵指数这样的数学对象，它们精确地处理了在一个小时间步长内这些旋转动力学的积分。这不仅仅是一个学术练习；它是确保模拟汽车能够真实地压皱，而不是以某种物理上荒谬的方式表现的软件核心机制。此外，这种客观的公式对于推导材料在变形过程中的有效刚度至关重要，这个量被称为算法切线模量，它对于整个模拟的稳定性和效率至关重要。
一旦我们接受了必须“减去”一个自旋以保持客观性，一个更微妙、更深刻的问题便浮现出来：我们应该减去哪个自旋？是材料单元可观察到的总自旋吗？还是有更具物理动机的选择？这个问题将我们带入了现代材料科学的核心，特别是描述永久变形的塑性理论。
想象一种材料，它既可以弹性变形（像弹簧），又可以塑性变形（像一个粘滞滑块）。这是大多数金属的一个良好模型。总变形可以被认为是这两部分的乘积：原子晶格的弹性畸变，以及由原子面相互滑移引起的塑性畸变。因此，材料单元的总自旋是弹性晶格旋转（）和塑性滑移产生的自旋（）之和。
现在，材料中的应力源于弹性原子晶格的拉伸和应变。从物理上看，材料“弹性”的本构律只应关心晶格本身发生了什么，这似乎是自然的。它不应直接受到塑性滑移过程产生的复杂翻滚和涡量的影响。这一洞见表明，我们不应使用总自旋来定义共旋速率，而应只使用弹性自旋 。
这个选择产生了像 Green-Naghdi 率这样的客观率。通过使用弹性自旋，我们构建了一个“更纯净”的本构律，其中客观应力率仅依赖于变形率的弹性部分。这有效地将弹性响应从复杂的塑性自旋中解耦出来。这是一个美丽的例子，说明了更深层次的物理推理如何导致我们数学工具的精炼，创造出不仅具有预测性，而且更忠实于底层物理的模型。
也许共旋速率力量最引人注目的例证是，它出现在一个完全不同的物理学领域：软物质。让我们离开钢梁和汽车碰撞的世界，来考虑你笔记本电脑或智能手机屏幕内的材料——液晶。
向列相液晶可以被想象成一种由微观棒状分子组成的流体。虽然这种材料可以像液体一样流动，但这些棒状分子倾向于沿着一个共同的方向与邻近分子对齐。在任何一点的这种平均取向由一个称为“指向矢”的矢量场来描述，记为 。液晶显示器（LCD）的魔力来自于我们能够用电场控制这个指向矢场，从而改变材料的光学性质。
但是当液晶流动时会发生什么呢？由速度场 描述的流体运动会带动指向矢棒。在非均匀流动区域，流体既有应变率（拉伸）又有涡量（自旋）。这两者都会影响指向矢。应变倾向于使棒状分子以特定方式排列，而涡量则仅仅使它们翻滚。为了描述指向矢取向如何演化的物理过程，我们需要一个能够区分这些效应的方程。
著名的 Ericksen-Leslie 理论就提供了这样一个方程。其核心是指向矢上的力矩平衡。流动的流体施加在指向矢上的粘性力矩，取决于指向矢的变化率。但就像固体中的应力一样，指向矢的简单时间导数并不是正确的物理量。我们需要一个独立于局部流体刚体旋转的变化率。该理论自然地引入了指向矢的共旋导数，，其中 是流体流动的涡量，或自旋张量。
这与我们在固体力学中看到的数学结构完全相同！共旋速率 代表了由一个与局部流体元一起翻滚的观察者所看到的指向矢取向的变化率。然后发现粘性力矩与这个客观率成正比。完整的理论通过一组粘度系数将指向矢动力学、流体流动和应力张量联系起来，体现了一种丰富而复杂的耦合关系。
这有力地证明了物理学深刻的统一性，同一个数学思想使我们能够为处于力学谱系两端的材料建立客观定律。无论我们是在描述变形金属的晶格，还是在流动液晶中分子的翻滚舞蹈，共旋速率都是一个通用的工具，用以从旋转的平凡效应中解开真正的物理变化。在每一种情况下，它都为我们提供了一个真正客观的视角。