迭代线性求解器

玻尔百科

核心要点

迭代求解器通过逐步优化猜测值来求解大型稀疏线性系统，它能保持稀疏性，并且比直接法使用的内存少得多。
矩阵的条件数决定了收敛速度，它是主要障碍，而预处理这一基本技术可以有效解决这一问题。
通过将矩阵视为“黑箱”，无矩阵迭代法可以解决那些矩阵大到甚至无法存入内存的问题。
迭代求解器是高级计算技术的核心，包括用于非线性问题的 Newton-Krylov 方法和用于寻找关键内部特征值的移位-反演法。

引言

求解通常表示为 $Ax=b$ 的线性方程组是计算科学与工程的基石。虽然小型系统可以轻松手算解决，但描述现实世界现象的模型——从机翼上的气流到分子的量子态——可能涉及数百万甚至数十亿个方程。对于如此大规模的问题，入门课程中讲授的经典直接法在计算上变得不可行。它们难以应对在处理物理系统典型的大型稀疏矩阵时产生的巨大内存需求。这正是迭代线性求解器旨在填补的空白。它们不寻求在固定步数内得到精确解，而是采用一种逐步优化的理念，从一个猜测值开始，系统地改进它，直到达到足够精确的解。本文将深入探讨这些强大算法的世界。在“原理与机制”一章中，我们将探索支配其行为的基本概念，从松弛的物理直觉到条件数的“反派”角色以及预处理的艺术。随后，“应用与跨学科联系”一章将揭示这些方法如何在一系列广泛的科学学科中充当计算引擎，解决复杂的非线性问题，寻找隐藏的特征值，甚至求解那些大到永远无法明确写出的系统。

原理与机制

求解线性方程组 $Ax=b$ 是所有科学与工程领域中最基本的任务之一。如果你有两个未知数的两个方程，你可以在餐巾纸上手算求解。但如果你有一百万个方程，描述飞机机翼上百万个点的压力，或者一个复杂分子的量子力学波函数呢？这就是计算科学的领域，在这里，求解的路径分为两大哲学传统：直接法和迭代法。

直接法，就像你在学校学过的高斯消去法，好比一位技艺精湛的锁匠，知道打开保险箱所需的确切、复杂的步骤顺序。它执行一组固定的操作，最后给出精确的答案（或者在计算机算术允许的范围内尽可能精确）。对于中小型问题，这种方法非常稳健。但对于源于物理定律的真正庞大的系统，这种方法有一个隐藏的、通常是致命的缺陷。物理系统，无论是由热流、结构力学还是电磁学所支配，通常都由稀疏矩阵描述。这意味着矩阵 $A$ 中的大多数元素都是零，因为空间中的每个点只与其直接邻居发生相互作用。直接法在分解矩阵的过程中，常常会破坏这种优美的稀疏性。它会产生所谓的“填充”（fill-in），将一个稀疏、结构优雅的问题变成一个稠密、计算上难以处理的烂摊子，其内存需求甚至会压垮最强大的超级计算机。

这就是第二种哲学，即迭代法，登场的地方。迭代法更像是一位雕塑家在凿一块大理石。它从一个解的初始猜测开始——任何猜测都可以——然后逐步地、一步步地优化它，越来越接近真实的答案。它不试图一次性理解整个系统。相反，它通过局部传递信息来工作，很像它试图模拟的物理系统。这种方法自然地保持了稀疏性，并且内存占用小得多，使其成为人类能够处理的最大规模问题的唯一可行选择。但这种灵活性也带来了一系列深刻的问题：我们如何设计一个好的优化步骤？它是否总能收敛到正确的答案？它到达那里的速度有多快？

作为向平衡状态松弛的迭代

让我们尝试从物理学家的角度来发明一种迭代方法。考虑我们要解的方程 $Lu=f$ ，其中 $L$ 是一个源于某种物理定律（如热扩散问题中的拉普拉斯算子）的矩阵。解 $u^*$ 是平衡状态，此时由 $Lu$ 表示的内力与外力 $f$ 完全平衡。在平衡状态下，“净力”或残差 $f-Lu$ 为零。

如果系统不处于平衡状态呢？那么就会存在一个净力，系统应该会演化以减小这个力。我们可以为解向量 $u$ 写下一个简单的、虚构的“运动方程”：

\frac{du}{dt} = f - Lu

这个方程描述了一个松弛过程。这是一种梯度流，类似于一个球滚下山坡寻找势能最低点，或者热量从高温区域流向低温区域直到温度均匀。这种演化的稳态，即 $\frac{du}{dt}=0$ 时，正是我们寻求的解 $Lu=f$ 。

现在，让我们把这个物理图像转化成一个计算算法。我们可以使用最简单的数值格式——前向欧拉法——来模拟这个时间演化过程。我们取大小为 $\Delta t$ 的小时间步：

u^{n+1} = u^{n} + \Delta t (f - L u^{n})

就这样，我们推导出了最古老、最简单的迭代求解器之一，Richardson 迭代！。每一步都取我们当前的猜测 $u^n$ ，并沿着减小不平衡的方向，即残差 $f-Lu^n$ 的方向，对其进行微调。

关键问题是，这个过程真的会收敛吗？让我们看一下误差 $e^n = u^n - u^*$ 。经过一点代数运算可以发现，误差的演化规律如下：

e^{n+1} = (I - \Delta t L) e^n

为了使误差减小，“迭代矩阵” $G = I - \Delta t L$ 必须是一个收缩映射。这意味着它的谱半径 $\rho(G)$ ，即其特征值的最大模，必须小于 1。 $G$ 的特征值是 $1 - \Delta t \lambda_i$ ，其中 $\lambda_i$ 是 $L$ 的特征值。该方法的艺术与科学在于选择时间步长 $\Delta t$ ，以使所有这些值尽可能小。仔细的分析揭示了一个惊人的结果：用这种简单方法可以达到的最佳收敛速率是一个单一的数字，它只取决于矩阵 $L$ 本身的性质：

\rho_{\text{optimal}} = \frac{\kappa - 1}{\kappa + 1}

这里， $\kappa$ 是矩阵的条件数。我们无意中遇到了迭代方法世界中的主要“反派”。

条件数：我们的对手

这个条件数 $\kappa$ 是什么？对于一个对称正定矩阵（通常来自物理平衡问题），它是其最大特征值与最小特征值的比值，即 $\kappa = \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ 。直观地说，它衡量了系统的“刚度”范围。一个条件数低的矩阵就像一个均匀的钢块；无论你如何推它，它的响应方式都相似且可预测。而一个条件数高的矩阵则像一个由钢梁和脆弱的橡皮筋组成的奇异装置。推它一下可能几乎无法移动钢制部分，却会极大地拉伸橡皮筋部分。这样的系统是“病态的”，找到其唯一的平衡状态是出了名的困难。

这个单一的数字 $\kappa$ 是我们故事中的反派，主要有两个原因：

它决定了收敛速度。 正如我们所见，即使对于一个优化的简单方法，如果 $\kappa = 1000$ ，误差在每一步大约减少 $\frac{999}{1001} \approx 0.998$ 。这意味着我们需要数千次迭代才能得到一个像样的答案。更高级的方法，如著名的共轭梯度（CG）法，其收敛对条件数的依赖性要好得多，误差减小因子接近于 $\frac{\sqrt{\kappa}-1}{\sqrt{\kappa}+1}$ ，但它们最终仍然受制于条件数。
它会放大误差。 在现实世界中，我们从不完美地求解一个系统；当残差“足够小”时我们就停止了。但是，小的残差并不总是意味着解的误差小！条件数是它们之间的桥梁。解的相对误差最大可以是你残差相对大小的 $\kappa$ 倍。对于一个大的 $\kappa$ ，你可能有一个看起来很小的残差，给你一种虚假的安全感，而你实际的解离真相还很远。

这个反派角色甚至可能源于我们自己的聪明才智。考虑寻找一个结构的振动模式（特征值）的问题。一种称为移位反演迭代的强大技术涉及求解一系列形式为 $(A-\mu I)x_{k+1} = x_k$ 的线性系统。这种方法的魔力在于，如果你选择的“移位” $\mu$ 非常接近一个实际的特征值 $\lambda$ ，该方法会以惊人的速度收敛到相应的特征向量。但悖论就在于此：当 $\mu$ 越接近 $\lambda$ ，矩阵 $A-\mu I$ 就变得越接近奇异，其条件数会飙升至无穷大！。因此，正是那个加速我们外部寻找特征值的因素，使得内部求解线性系统的问题变得越来越困难。这种速度与稳定性之间的张力是数值分析中一个反复出现的主题。

驯服野兽：预处理的艺术

如果条件数是问题所在，那么解决方案就是预处理。这可以说是现代迭代方法中最重要的概念。其核心思想非常简单：如果你不喜欢你必须解决的问题，那就解决一个有相同答案的不同问题。

我们不直接处理病态系统 $Ax=b$ ，而是对其进行变换。主要有两种方法：

左预处理： 我们找到一个神奇的矩阵 $M$ ，即我们的预处理器，并在方程左侧乘以它： $(MA)x = Mb$ 。然后我们求解这个新系统以得到原始未知数 $x$ 。我们希望预处理后的矩阵 $MA$ 的条件数比原始矩阵 $A$ 的条件数更接近 1。
右预处理： 我们引入变量替换 $x = My$ ，并将其代入原始方程得到 $(AM)y = b$ 。我们求解这个新系统以得到变量 $y$ ，一旦得到它，我们通过 $x = My$ 恢复我们想要的解。同样，目标是使 $AM$ 成为良态的。

理想的预处理器是 $M=A^{-1}$ ，因为这样 $MA=I$ （单位矩阵），其条件数为完美的 1。解只需一步就能找到！但当然，寻找 $A^{-1}$ 正是我们试图避免的问题。预处理的艺术在于找到一个矩阵 $M$ ，它是 $A^{-1}$ 的一个廉价近似。它必须满足两个相互竞争的要求：它必须足够接近逆矩阵以显著改善条件数，但应用 $M$ 的操作（这通常意味着用 $M$ 求解一个线性系统）必须比用 $A$ 求解原始问题要简单得多。找到一个好的预处理器是一种创造性行为，它将对问题的物理直觉与线性代数的深刻知识融为一体。

方法荟萃与收敛的微妙之处

迭代方法的世界里充满了各种各样的算法。像 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代这样的经典方法是元老级的。虽然对于现代应用来说通常太慢，但它们揭示了基本原理。例如，Gauss-Seidel 方法逐个更新解向量的分量，并在同一步中立即使用新计算出的值。这产生了一种串行数据依赖：计算分量 $x_i$ 必须等待 $x_{i-1}$ 的结果，而后者又等待 $x_{i-2}$ ，依此类推。这个简单的算法细节使其不适合现代并行超级计算机，后者擅长同时执行数千个计算。为了解决这个问题，人们开发了像图着色这样的巧妙解决方案，通过重新排序方程来一次性更新相互独立的变量集，从而打破了串行链。

此外，收敛的路径并不总是一个简单的、单调的下降过程。对于迭代 $x^{k+1}=Gx^k+c$ ，收敛的最终保证是谱半径 $\rho(G) 1$ 。然而，步进的行为由矩阵范数 $\|G\|$ 控制。对于一类被称为非正规矩阵的特殊矩阵，即使 $\rho(G) 1$ ，也可能出现 $\|G\| > 1$ 的情况。在这种情况下，误差可能会在几次迭代中暂时增长，然后才开始必然的渐近衰减。这种瞬态增长现象不仅仅是一个数学上的奇特现象；它是在计算流体力学等领域中看到的真实效应，如果人们期望误差在每一步都减少，这可能会非常违反直觉。这就像一艘摇摇晃晃的火箭在进入轨道的过程中自行校正——短期的旅程可能是颠簸的，即使最终目的地是确定的。

现代模拟的宏大交响曲

最终，这些原理和机制并非孤立存在。它们在现代科学模拟中汇聚成一曲宏大的交响乐。想象一下，我们正在模拟一个复杂的、非线性的物理过程，比如建筑物下地基的塑性变形或空气的湍流。这类问题通常用Newton-Raphson 格式求解，它本身就是针对外部非线性问题的迭代方法。在每个牛顿步，它都需要求解一个巨大但线性的方程组， $J\Delta u = -R$ 。

这就是我们的迭代线性求解器发挥作用的地方，作为内部循环的主力。它可能是一个预处理的共轭梯度法或 GMRES 方法。但一个新的问题出现了：我们需要多精确地求解这个内部系统？模拟本身已经包含了将连续物理世界用有限点网格近似所带来的固有离散化误差。如果离散化误差比机器精度（ $10^{-16}$ ）大几个数量级（比如 $10^{-2}$ ），那么将线性系统的代数误差求解到机器精度是极其浪费的。

真正优雅的方法，被用于现代自适应软件中，是平衡这两种误差来源。在每一步，我们估计离散化误差。然后，我们运行我们的迭代求解器，直到代数误差成为该离散化误差的一小部分。这确保了我们不会浪费计算精力去打磨一个已经比其邻居精细得多的拼图块。

这是迭代哲学理念的最终体现。它是一种动态、自适应且非常实用的方法。虽然直接法有其用武之地，特别是对于较小的问题或矩阵不变的问题，但科学前沿的那些巨大、不断变化且相互关联的问题是迭代求解器的领域。它们是引擎，一步步小心翼翼地，从我们物理定律和计算资源的原始大理石中雕刻出现实的形状。

应用与跨学科联系

科学中一些最强大的思想，其核心却异常简单，这是一件奇妙而美丽的事情。我们讨论过的迭代方法就是一个典型的例子。其核心思想——从一个猜测开始，看看它错在哪里，然后做出一个更好的猜测——是连孩子都能理解的事情。然而，这个简单的“猜测、检查、修正”的循环，却是驱动我们这个时代最大、最复杂的科学模拟的引擎。它是我们用来解开那些远超直接、暴力计算能力所及的复杂系统秘密的钥匙。

当我们从教科书物理那干净、优雅的世界走向自然与工程那混乱的现实时，我们发现问题很少是线性的，几乎从不小。无论我们是想理解车祸中揉皱的钢板、喷气机翼上湍急的气流，还是遥远恒星的炽热核心，底层的物理定律都表现为巨大、相互关联的非线性方程网络。正是在这片复杂的荒野中，迭代求解器不仅成为一个有用的工具，更成为我们进行探索的主要载体。它们是计算科学的主力军，在几乎所有现代科学学科中都能找到它们的足迹。

模拟的核心：从物理到代数

想象一下，试图预测一座桥梁在负载下的应力。物理学家会写下一个优美的偏微分方程，一个对每一点无穷小处的力的连续描述。但计算机无法处理无穷小。为了让问题变得易于处理，工程师和科学家采用像有限元法（FEM）这样的技术，它将连续的桥梁切成大量简单的小块——一个网格。那个平滑、优雅的偏微分方程被转换成一个巨大的代数方程组，网格中的每个节点都对应一组方程。一百万个节点？你可能就需要同时求解数百万个方程。这就是我们必须面对的庞大线性系统 $Ax=b$ 的来源。

对于一个有数百万行的矩阵，试图一次性找到精确答案的直接法变得不切实际得可笑。存储矩阵中间因子所需的内存将超过任何一台超级计算机的容量。但是，迭代求解器只需要存储稀疏矩阵本身——一个记录哪些节点与哪些节点相连的列表——以及几个猜测向量。

有趣的是，迭代求解器的选择与底层的物理学紧密相连。考虑一个简单的弹性材料，由一个凸能量函数描述。由此产生的矩阵 $A$ 是对称正定的（SPD），这是一个在数学上“良好”的性质，使我们能够使用著名的、高效的共轭梯度（CG）法。但如果我们把物理过程复杂化会怎样？假设我们模拟一个变形结构上的压力，比如风吹动一面飘扬的旗帜。这种“跟随载荷”破坏了问题的对称性，矩阵不再是对称的。CG 方法会惨败。我们被迫转向更通用——通常也更昂贵——的方法，如广义最小残差法（GMRES）或 BiCGStab。又或者我们正在模拟一种几乎不可压缩的材料，如橡胶；这通常会导致一个“鞍点问题”，产生一个对称但不定的矩阵，其特征值有正有负。这时，就需要另一种专门的方法，如最小残差（MINRES）法。

这说明了一种深刻的统一性：问题的物理特性决定了矩阵的数学结构，而后者又决定了我们对迭代工具的选择。物理学家的洞察力指引着数值分析师的手。当然，仅仅因为我们的迭代求解器正在收敛，并不意味着我们的模拟就是正确的。在计算流体力学（CFD）这样的领域，区分代数残差——线性求解中的误差——和物理残差——代表我们模拟中质量、动量和能量的实际不平衡——是至关重要的。一个实用的 CFD 代码会监控一个经过缩放的、无量纲的物理残差版本，以判断模拟是否真正达到了稳态，这是一个独立于网格尺寸和流动条件的衡量标准。

驯服非线性：非精确牛顿法的艺术

自然界中大多数深刻的问题都是非线性的。牛顿法是应对这类挑战的经典工具：它通过求解一系列更简单的线性近似来解决一个困难的非线性问题。在每一步，我们都需要求解一个线性系统， $J s = -F$ ，其中 $J$ 是雅可比矩阵。但对于大规模问题，这个线性系统本身就是一个庞然大物。我们必须在每一步都完美地求解它吗？

答案是响亮的“不”，而这一洞见催生了 Newton-Krylov 方法族。当我们整体的非线性猜测值离真实解还很远时，花费巨大的计算力将线性系统求解到机器精度是极其浪费的。这就像你正在推一块巨石上山，却用千分尺来测量它的位置；在你接近山顶之前，一个粗略的估计就足够了。

关键是使用像 GMRES 这样的迭代求解器来非精确地求解线性系统。我们引入一个“强制项” $\eta_k$ ，一个介于 0 和 1 之间的数字，作为控制内部线性求解精度的旋钮。我们只要求线性残差减小一个因子 $\eta_k$ 。

这个强制项的选择是一门精巧的艺术，它决定了整个计算的效率。

如果我们保持 $\eta_k$ 为一个常数（但小于 1），牛顿法将以稳定的线性速率收敛。
如果我们巧妙地随着非线性解的改善将 $\eta_k$ 减小到零（即 $\eta_k \to 0$ ），我们将实现飞快的超线性收敛。
如果我们真的雄心勃勃，并迫使 $\eta_k$ 与非线性残差本身一样快地减小（例如， $\eta_k \le c \|F(x_k)\|$ ），我们就可以恢复精确牛顿法所追求的二次收敛。

这在外部非线性迭代和内部线性迭代之间创造了一场优美的舞蹈。复杂的自适应策略，如 Eisenstat-Walker 方法，甚至能自动调整这个旋钮，将 $\eta_k$ 与观测到的收敛速率联系起来，以确保我们永远不会做超出必要的工作。

终极消失术：无矩阵方法

我们已经谈到过大到无法分解的矩阵。但是，如果一个矩阵巨大到我们甚至无法将其存储在计算机内存中呢？这是否意味着这个问题永远超出了我们的能力范围？令人惊讶的是，并非如此。

Krylov 子空间法的魔力在于，它们不需要“看到”矩阵 $A$ 的全部。它们所需要的只是将矩阵乘以它们选择的一个向量的结果。它们将矩阵视为一个“黑箱”或一个“神谕”：它们给它一个向量 $v$ ，它就返回乘积 $A \cdot v$ 。如果我们能够设计一种方法，在不显式构造矩阵 $A$ 的情况下计算这个矩阵向量乘积，我们就可以求解这个系统。这就是“无矩阵”方法的革命性思想。

一个最优雅的例子来自求解刚性常微分方程（ODEs），这类方程出现在从化学反应动力学到电子学等领域。像后向差分格式（BDF）这样的隐式时间步进格式对于稳定性是必需的，但它们要求在每个时间步求解一个非线性系统。这个系统的雅可比矩阵可能是稠密且巨大的。然而，我们可以使用一个简单的有限差分公式来近似雅可比-向量乘积：

J v \approx \frac{R(y + \epsilon v) - R(y)}{\epsilon}

其中 $R$ 是我们 BDF 公式的残差函数。换句话说，我们仅仅通过两次评估原始残差函数就计算出了雅可比矩阵的作用！迭代求解器 GMRES 随后可以继续求解线性系统，而完全不知道矩阵 $J$ 从未被构造过。为了避免浪费精力，这个内部求解的容差通常与时间步进方案本身的局部误差耦合起来，这是误差平衡的一个优美范例。

一个更深刻的例子来自计算核物理的前沿。为了计算原子核如何响应外部探针——一个由准粒子随机相位近似（QRPA）控制的问题——必须求解一个涉及 QRPA 矩阵的线性系统，这是一个维度真正达到天文数字的对象。有限振幅法（FAM）巧妙地避开了这一点，它将矩阵向量乘积变成了一个完整的物理计算。一个试验向量被解释为对核密度的一个小扰动。然后，底层的整个 Hartree-Fock-Bogoliubov 平均场理论的机器在这个受扰动的密度上运行，以计算核哈密顿量的相应变化。这个变化就是矩阵向量乘积。迭代线性求解器本质上是在对原子核进行一系列虚拟实验以找到答案。这代表了数值算法和物理模型之间终极的共生关系。

看见无形：寻找宇宙的音调

世界充满了振动。小提琴弦的音调、桥梁的共振频率、原子的量子能级——所有这些都是特征值问题的解。迭代求解器不仅可以求解 $Ax=b$ ，还可以被改造来求解特征值问题 $Ax=\lambda x$ 。

标准的迭代特征求解器，如 Lanczos 算法，非常擅长寻找极端的特征值——最高和最低的频率。但通常，最有趣的物理学隐藏在谱的密集中间部分。我们如何放大这些“内部”特征值呢？

答案是一个非常聪明的技巧，称为移位-反演法。我们不分析算子 $A$ ，而是分析它经过我们的目标能量 $\sigma$ 移位后的逆算子： $(A - \sigma I)^{-1}$ 。 $A$ 的一个非常接近我们移位值 $\sigma$ 的特征值 $\lambda$ ，变成了新算子的一个特征值 $1/(\lambda - \sigma)$ 。一个微小的分母会产生一个巨大的结果。我们正在寻找的、先前埋没在谱中间的特征值，现在成了变换后算子的最大模特征值——这正是迭代特征求解器最容易找到的那些。

但是，一如既往，没有免费的午餐。要将算子 $(A - \sigma I)^{-1}$ 应用于一个向量，就是要解线性系统 $(A - \sigma I)x=b$ 。我们又回到了起点！特征求解器的内部循环中包含一个迭代线性求解器。这导致了一个根本性的权衡。我们可以使用直接法对 $(A - \sigma I)$ 进行一次分解。这在时间上（对于 3D 问题是 $\mathcal{O}(n^2)$ ）和内存上（ $\mathcal{O}(n^{4/3})$ ）有巨大的前期成本，但随后的求解会很快。如果我们的移位 $\sigma$ 是固定的，这是一个好策略。另一种选择是为每个内部系统使用迭代求解器。这可以保持内存需求很低（ $\mathcal{O}(n)$ ），但面临一个艰巨的挑战：我们的移位 $\sigma$ 越接近我们想要的特征值（这对外部特征求解器有利），内部线性系统就变得越病态和难以求解。对于天体物理或量子物理中的大规模问题，其中问题规模 $n$ 达到数百万或数十亿，直接法的内存成本变得令人望而却步。迭代方法，尽管有其微妙之处，是唯一的前进道路，并且它们在并行计算机上的可扩展性，由高效的矩阵向量乘积驱动，远远超过了直接法中受通信限制的三角求解。

最后的警示

我们已经看到了迭代线性求解器巨大的力量和广泛的应用。它们是通用翻译器，让我们能够将物理的语言转换成数字的语言。然而，至关重要的是要记住，它们是解决数学模型的工具。模型的属性并不总是现实的属性。

考虑一个电网。该网络可以用一个线性导纳矩阵 $Y_{bus}$ 来描述。如果这个矩阵是严格对角占优的，对于数值分析师来说这是一件美妙的事情：它保证了用于求解线性系统 $Y_{bus} V = I$ 的 Jacobi 迭代将会收敛。人们可能会因此得出结论，认为这种数学上的稳健性意味着物理电网对于电压骤降是稳定的。这个结论是危险的错误。电压稳定性是一个复杂的、非线性的现象，受负载特性和动态控制的支配。一个线性化、静态模型的对角占优性，并不能保证在真实世界的大停电中不会发生非线性动态行为。我们必须始终小心区分地图和领土。

然而，这正是让这段旅程如此激动人心的原因。物理世界与其数学描述之间的对话是丰富且持续的。迭代求解器是那场对话的关键部分。它们代表了一种基本的科学探究模式：提出、测试、改进。随着我们的模拟变得越来越忠于现实，涵盖更宏大的尺度和更精细的细节，这个简单、强大而优雅的迭代思想将继续处于计算探索的核心位置。