大涡模拟 (LES)

玻尔百科

关键点

大涡模拟（LES）是一种湍流模拟方法，它直接解析含能大涡，同时模拟尺度更小的亚格子涡的影响。
该方法基于一种分离流场的数学滤波操作，该操作会产生一个需要模型来封闭的亚格子尺度（SGS）应力项。
壁面模化大涡模拟（WMLES）和分离涡模拟（DES）等混合方法使得 LES 在计算上能够处理高雷诺数的工程问题。
LES 充当“数值实验室”的角色，生成高保真度数据，这有助于为气候模型等大规模系统开发和改进更简单的模型。

引言

湍流的混沌、涡旋运动是一种普遍存在的现象，从飞机设计到天气预报，它都至关重要。然而，精确模拟这种复杂性带来巨大的计算挑战。长期以来，科学家和工程师们一直徘徊于两个极端之间：一个是细节极其丰富但几乎不可能实现的直接数值模拟（DNS），另一个是通常过于简化的雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）模型。这就为那些非定常大尺度湍流结构行为至关重要的问题留下了一个关键的空白。本文将介绍一种为填补这一空白而设计的强大而巧妙的方法——大涡模拟（LES）。在接下来的章节中，我们将首先探讨 LES 的基本原理和机制，理解它如何解析最重要的涡结构，同时对其余部分进行模化。随后，我们将纵览其多样化的应用和跨学科联系，揭示 LES 如何在从工程学到地球科学等领域中成为关键的发现工具。

原理与机制

要真正理解一个复杂的概念，我们通常必须从多个角度来看待它。我们可以通过描述它“是什么”来解释它，但有时通过理解它“不是什么”会更有启发性。大涡模拟（LES）就是这样一个概念，它是现代流体动力学核心的一种巧妙的折衷方案。要领会其精妙之处，我们必须首先审视它试图调和的两个极端。

伟大的折衷：驾驭湍流尺度谱

想象一下，要预测一个小山谷里的天气。一方面，你可以尝试追踪大气中每一个水分子的运动——这项任务的复杂程度令人震惊，几乎不可能完成。另一方面，你可以只查看长期的气候数据然后说：“七月通常是晴天”，完全忽略了云和风的日常变化。

在模拟湍流时，我们面临着类似的困境。湍流是旋转流体运动的混沌芭蕾，这些运动或称“涡”(eddies)，涵盖了极广的尺寸范围。最大的涡，其特征尺寸为 $L$ ，包含了大部分能量，并由流动的特定几何形状决定——可以想象河流中桥墩后方那些巨大而缓慢的漩涡。这些涡不稳定并会破裂，将能量传递给更小的涡，后者又会破裂成更小的涡，形成一个从大尺度到小尺度的能量级串。这个过程一直持续，直到涡小到其运动被流体的内摩擦力，即“黏性”(viscosity) $\nu$ 耗散为热量。这些涡中最小的由“柯尔莫哥洛夫长度尺度”(Kolmogorov length scale) $\eta$ 定义。

面对这个巨大的尺度谱，模拟研究者历来有两个主要选择：

直接数值模拟 (DNS): 这是一种“追踪每个分子”的方法。DNS 解析所有尺度。计算网格必须足够精细，以捕捉最小的柯尔莫哥洛夫涡 $\eta$ 。随着流动的“雷诺数”(Reynolds number)（ $Re = UL/\nu$ ，一种衡量湍流强度的指标）增加，尺度的范围急剧扩大。DNS 所需的网格点数也随之猛增。一个经典的尺度分析表明，DNS 的总计算量 $C_{DNS}$ 随雷诺数凶猛增长，大约为 $C_{DNS} \propto Re^3$ 。这使得 DNS 对于几乎所有实际工程问题（如设计飞机机翼，其雷诺数可达数百万甚至数十亿）在计算上都无法实现。
雷诺平均纳维-斯托克斯 (RANS): 这相当于“着眼于气候”的方法。RANS 甚至不尝试捕捉涡的瞬时混沌运动。相反，它求解的是时间平均后的流场，实质上模糊了所有的湍流脉动。整个湍流谱对这个平均流的影响被打包成一个单独的项，即“雷诺应力”(Reynolds stress)，该项必须通过模型来近似。RANS 的计算成本低廉——其成本基本上与雷诺数无关——但这种高效率是有代价的：在大型涡结构的行为至关重要的复杂非定常现象中，该模型可能无法准确捕捉。

这就是 LES 作为伟大的折衷方案登场之处。LES 的理念既简单又深刻：并非所有的涡都是生而平等的。含能大涡是各向异性的、运动缓慢的，并且高度依赖于几何形状。它们是流动的“个性”。相比之下，最小的涡被认为更具普适性、更随机，并且主要负责耗散能量。那么，为什么要对它们一视同仁呢？

LES 提出了一种折衷方案：让我们直接计算——或解析——那些重要的、大的涡，并为那些小的、通用的涡创建一个模型。通过这样做，我们避免了 DNS 令人望而却步的成本，同时仍然捕捉到 RANS 遗漏的关键非定常物理过程。LES 的计算成本 $C_{LES}$ 仍然随雷诺数增长，但比 DNS 慢得多，可能接近于 $C_{LES} \propto Re^{1.8}$ – $Re^2$ ，这是一个巨大的节省，使许多复杂流动的计算成为可能。

哲学家之筛：对流场进行滤波

LES 在技术上是如何实现这种尺度分离的呢？其核心数学工具是“滤波”(filtering)。想象一下，将充满各种尺度运动的湍流速度场通过一个数学筛子。这个筛子或滤波器有一个特征尺寸，即“滤波宽度”(filter width) $\Delta$ 。大于 $\Delta$ 的涡被筛子“捕捉”到，成为我们将直接计算的“解析场”(resolved field) 的一部分。小于 $\Delta$ 的涡则穿过筛子，成为我们必须建模的“亚格子尺度 (SGS) 场”(subgrid-scale (SGS) field) 的一部分。

当我们将此滤波操作应用于流体运动的基本控制方程——纳维-斯托克斯方程时，奇妙的事情发生了。由于这些方程是非线性的（它们包含像速度乘以速度这样的项），滤波过程并不能干净利落地通过。一个新项出现了，这个项在原始方程中并不存在。这个项就是“亚格子尺度 (SGS) 应力张量”(subgrid-scale (SGS) stress tensor)，记为 $\tau_{ij}$ ：

\tau_{ij} = \widetilde{u_i u_j} - \tilde{u}_i \tilde{u}_j

此处， $u_i$ 是瞬时速度，波浪号 (~) 表示滤波操作，因此 $\tilde{u}_i$ 是解析出的大尺度速度。项 $\widetilde{u_i u_j}$ 是完整速度乘积的滤波结果，而 $\tilde{u}_i \tilde{u}_j$ 是滤波后速度的乘积。它们之间的差值 $\tau_{ij}$ 是我们系统中的幽灵。它代表了我们正在追踪的大的、解析的涡上，小的、未解析的涡所产生的物理效应——动量交换。我们求解的滤波后纳维-斯托克斯方程如下所示：

\frac{\partial \tilde{u}_{i}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}}\left( \tilde{u}_{i}\tilde{u}_{j} \right) = - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \tilde{p}}{\partial x_{i}} + \nu \frac{\partial^{2} \tilde{u}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_{j}}

这个方程是不封闭的，因为 $\tau_{ij}$ 是未知的。LES 的全部艺术就在于为这个 SGS 应力张量找到一个好的模型。

至关重要的是要理解，SGS 应力在物理上与 RANS 中的雷诺应力是不同的。雷诺应力 $-\rho \overline{u'_i u'_j}$ 代表了所有湍流脉动对平均流的平均效应。SGS 应力 $\tau_{ij}$ 则仅代表小的、未解析的脉动对大的、解析的流动的影响。在 LES 中，我们仍然实时观察大涡的“舞蹈”；我们只是模拟了那些未解析的小涡“冲撞舞池”对其舞蹈的影响。

能量收费站：亚格子尺度模型

为了巧妙地对 $\tau_{ij}$ 进行建模，我们必须回到能量级串。在高雷诺数下，能量注入的大尺度 $L$ 和能量被黏性耗散的微小柯尔莫哥洛夫尺度 $\eta$ 之间存在巨大的分离。这些尺度的比值表现为 $\eta / L \sim Re^{-3/4}$ ，因此随着 $Re$ 变大，这个差距会急剧扩大。

“SGS 模型”(SGS model) 的作用就像一个能量收费站。当能量从大的、已解析的涡向更小尺度级串时，它最终会到达滤波尺度 $\Delta$ 。此时，SGS 模型必须“收集”这些能量并将其从解析场中移除，以模仿向耗散尺度的持续级串。在解析运动的能量方程中，这个能量流失由项 $-\tau_{ij} \tilde{S}_{ij}$ 表示，其中 $\tilde{S}_{ij}$ 是解析流的应变率。一个好的 SGS 模型能确保，在平均意义上，该项为正值，正确地充当能量汇。

最简单也最著名的 SGS 模型是“Smagorinsky 模型”(Smagorinsky model)，它假设亚格子尺度表现得像一个增强的黏性。该模型将 SGS 应力建模为与大尺度涡的应变率成正比，并引入一个所谓的“涡黏性”(eddy viscosity) $\nu_t$ ，它远大于分子黏性 $\nu$ 。

滤波宽度 $\Delta$ 的选择至关重要。它定义了我们解析什么以及我们模拟什么。如果我们将 $\Delta$ 选得比流场中最大的涡还要大得多，那么我们几乎什么也解析不了。所有的湍流都被滤掉，落入了亚格子模型的职责范围。在这个极限下，LES 实质上退化为类似 RANS 的模拟。

思想的演进：更智能的混合方法

基本的 LES 框架功能强大，但现实世界带来的挑战激发了更巧妙的改进方法。

一个主要的难题是“湍流边界层”(turbulent boundary layer)——靠近固体表面（如飞机机翼或管道内壁）的薄层流体。在这里，小尺度湍流简单且普适的假设不再成立。靠近壁面的涡被拉伸并组织成条带和猝发。为了解析这些关键的近壁结构（即“壁面解析大涡模拟”(Wall-Resolved LES 或 WRLES)), 网格不仅在垂直于壁面的方向上，而且在流向和展向上都必须极其精细。WRLES 的计算成本会爆炸性增长，其尺度增长类似于 $Re_{\tau}^3$ ，其中 $Re_{\tau}$ 是一个基于壁面摩擦力的雷诺数。对于航空航天应用，其中 $Re_{\tau}$ 可达 $10^5$ ，这个成本是完全无法承受的。

解决方案是“壁面模化大涡模拟 (WMLES)”(Wall-Modeled LES (WMLES))。这是一种混合方法，我们对远离壁面的主流区域进行 LES，但对边界层内的薄层部分使用一个独立的、成本低得多的模型（通常基于 RANS 原理）。壁面模型的工作只是计算壁面上的正确摩擦力，并将该信息反馈给外部的 LES。通过不解析昂贵的近壁涡，WMLES 的成本在很大程度上变得与雷诺数无关，使得对整个飞机机翼进行高保真度模拟成为一个可及的现实。

另一种流行的混合方法是“分离涡模拟 (DES)”(Detached Eddy Simulation (DES))。这是一个单一、统一的模型，具有双重性格。它被设计成在附着于物体的区域（边界层较薄）像 RANS 模型一样工作，并在大尺度流动分离区域（如汽车或圆柱体后面的尾流）自动切换为像 LES 模型一样工作。它通过在其湍流模型中使用一个长度尺度来实现这一点，该长度尺度是到壁面距离和局部网格尺寸的最小值。在近壁处，壁面距离更小，模型表现得像 RANS。远离壁面时，网格尺寸成为限制因素，模型则充当 LES 的 SGS 模型。

最后，也许最优雅（如果说有些烧脑）的变体是“隐式大涡模拟 (ILES)”(Implicit LES (ILES))。在 ILES 中，方程中根本没有添加任何显式的 SGS 模型项！取而代之的是，精心选择用于在计算机上求解方程的数值算法。所有的数值方法都存在一些固有误差，或称“数值耗散”(numerical dissipation)。在 ILES 中，这种误差不被视为需要最小化的缺陷，而是被用作一个可利用的特性。算法的设计使其数值耗散能够模仿 SGS 模型的物理耗散，在最小解析尺度上自动移除能量。代码本身成为了亚格子尺度模型。

从一个基础性的折衷方案到一套高度复杂、实用的工具，大涡模拟体现了科学与工程的创新精神。它证明了我们有能力通过辨别什么是本质的、什么是可以近似的，从而在棘手的问题中找到可行的路径，让我们得以计算出湍流那美丽而复杂的舞蹈。

应用与跨学科联系

在窥探了大涡模拟（LES）的内部工作原理之后，我们可能会倾向于将其视为一种巧妙的数学技巧或计算上的折衷方案。但这就像把听诊器仅仅称为一个听音设备一样。实际上，LES 像听诊器一样，是一个让我们能够感知复杂生命系统内部动态的工具——在这里，这个系统就是充满活力、混沌无序的湍流世界。它真正的力量不仅在于计算流动，还在于揭示横跨惊人范围的科学和工程学科之间的现象联系。它在科学探究的层级中占据了一个优美而关键的位置，充当着精确与近似、微观与宏观之间的伟大翻译者。

让我们把研究湍流的工具想象成一套镜头。一端是直接数值模拟（DNS），一个完美的显微镜，能够解析每一个微小的涡旋。它为我们提供了“地面真实情况”，但其焦点如此精细，以至于我们一次只能观察到宇宙中极小的一部分。另一端是雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方法，一个强大的望远镜，可以观测广阔的系统，但会模糊掉所有详细的结构，只向我们展示一个稳定、时间平均的景象。

LES 是连接它们之间非凡的桥梁。它是一个变焦镜头，使我们能够解析“大局”中的参与者——那些携带能量的大涡——同时智能地模拟未解析的背景噪声。这种独特的地位使 LES 不仅仅是一个模拟工具，更是一个知识的生成器，一个“数值实验室”。在这里，我们可以为我们的粗粒度望远镜（如预测我们星球未来的全球气候模型）开发更简单的规则，即“参数化方案”(parameterizations)。

改造世界：驯服湍流巨兽

在工程领域，LES 的实际威力表现得最为明显，我们在这里不断与湍流的非定常性作斗争——或者试图利用它。

想象一辆汽车，比如一辆SUV，在刮风天行驶。你突然感觉到一股来自侧风的猛烈推力。这股力从何而来？它来自从车身尖锐边角（如挡风玻璃旁的 A 柱或侧视镜）剥离下来的巨大涡旋。传统的 RANS 模拟通过时间平均，会预测一个平滑、恒定的推力，完全错过了非定常力的刺耳现实。然而，LES 能够捕捉到这些涡的诞生、生命和消亡。它让工程师能够“看到”非定常载荷的发生过程，从而设计出更安全、更稳定的车辆。

但这些涡不仅会推，它们还会“歌唱”。冲击车窗的旋转气流中的压力脉动是你在高速公路上听到的那种恼人“风噪”的主要来源。预测这种声音是一个极其困难的问题。声波中的能量与湍流能量的雷鸣相比，只是微弱的耳语。单一的、蛮力模拟通常不切实际。在这里，LES 被用于一种优美的混合方法：我们使用 LES 精确计算汽车周围的湍流场，捕捉作为声音“源”的精确压力脉动。然后，我们将这些声源信息传递给另一个基于声学定律的计算工具，以将声音“传播”到虚拟观察者的耳朵里。LES 计算出“交响乐队”，而声学求解器让我们听到“音乐”。

应用范围从宏观到微观。在半导体制造的高科技世界中，气体射流被用来加热、冷却或在硅晶片上精确沉积材料。这个过程的均匀性严重依赖于流动。冲击射流会形成自己的相干涡环，可能在晶片上造成不希望出现的热点或冷点。LES 可以解析这些结构，帮助工程师设计出能够提供完美受控热环境的喷嘴。然而，这引出了工程实用主义的一个关键点。虽然 LES 提供了最准确的物理图像，但其计算成本高昂。如果一个工程师需要在一周内测试 50 种不同的喷嘴设计，运行 50 次完整的 LES 模拟可能是不可能的。在这种情况下，从几次详细的 LES 运行中获得的理解可以用来改进更经济的 RANS 模型，或者可能会决定使用 RANS 进行广泛的筛选研究，以速度换取其局限性。工具的选择是物理保真度和计算现实之间深刻的平衡。

要使这些模拟在现实世界的工程中（无论是汽车、飞机还是微芯片）变得实用，通常还需要一个更巧妙的技巧。靠近固体表面的湍流变得极其精细和复杂。即使使用 LES，完全解析这个“近壁”区域也可能成本过高。因此，我们经常使用“壁面模化 LES”，即我们解析主流区的大涡，但使用一个简化的物理模型来表示流动与壁面的相互作用。这种折衷方案，我们将第一个网格点放置在流动行为被充分理解的区域（“对数律层”，其中速度坐标 $y^+$ 大约大于 30），使得 LES 成为处理主导我们技术世界的高雷诺数流动的可行工具。

模拟我们的星球：从河床到海洋

让我们能够设计更安静汽车的同样原理，也使我们能够理解我们自己星球上广阔而复杂的系统。

看一条浑浊的河流。水是涡流翻滚的混沌状态。正是这些大的湍流结构有能力将沙粒和淤泥从河床上掀起并输送到下游。LES 能够以惊人的清晰度模拟这个过程。它解析了从底部卷起沉积物的强大上升气流和携带其悬浮的大尺度运动。但这里有一个美妙的反馈循环：悬浮的沉积物使水更稠密，而这种密度分层会抑制支撑着泥沙悬浮的湍流本身。LES 是少数能够捕捉流动与其所携带物质之间这种微妙、双向互动的工具之一，为我们提供了从河流地貌学到水生生态系统健康的深刻见解[@problem-id:3911045]。

这种捕捉复杂、结构化湍流的能力在水利工程中也至关重要。考虑大坝溢洪道底部剧烈翻腾的水流——即水跃。这不仅仅是随机的飞溅；这是一个强烈各向异性湍流的区域，其中湍流运动在某些方向上比其他方向强得多。这种结构对于耗散落水的巨大能量、防止侵蚀和确保大坝安全至关重要。假设湍流是各向同性的标准湍流模型在这里会失效，但 LES 通过直接解析大的、各向异性的滚筒涡，为我们提供了对水跃核心无与伦比的观察，从而能够设计出更坚固、更高效的水工结构。

也许 LES 在地球科学中最深刻的作用是作为一种发现工具，为我们的全球气候模型提供信息。一个气候模型的网格边长可能是 100 公里；它不可能看到海洋表层几米内发生的混合。然而，这种由风和浪驱动的混合控制着大气和海洋之间的热量和二氧化碳交换——这是我们星球气候的一个关键过程。

这正是 LES 作为“数值实验室”大放异彩的地方。科学家们可以对一小块海洋表面进行 LES，包括将湍流组织成所谓的“朗缪尔环流”(Langmuir cells)的复杂表面波效应。通过在不同条件下（改变风速、波高、海洋分层）运行许多这些理想化的模拟，他们可以发现控制混合的基本规则和无量纲数（如湍流朗缪尔数， $La_t$ ）。基于这种深刻的理解，他们可以构建一个简化的、基于物理的“参数化方案”(parameterization)——一套粗糙的全球气候模型可以用来表示这种未解析混合效应的规则。通过这种方式，来自 LES 的“微观”知识被用来构建更准确的“望远镜”，以观察我们的整个气候系统。

新前沿：当 LES 遇上人工智能

LES 的故事仍在书写中，其下一章正由人工智能领域共同撰写。一种被称为物理信息神经网络（PINNs）的新型工具正在兴起，它们不仅能解方程，还能“学习”方程。

想象一下，用一个流场的稀疏测量数据来训练一个神经网络。一个标准的神经网络可能难以填补数据空白。但 PINN 则不同。我们可以教给它物理学的基本定律——在这里，就是构成 LES 基础的滤波后纳维-斯托克斯方程。网络的训练不仅以匹配可用数据为指导，还以确保其预测遵守质量和动量守恒为准则。

最令人兴奋的部分是这个框架如何处理亚格子尺度应力，也就是 LES 试图建模的那个项。我们不必预设一个模型，而是可以让 PINN 将 SGS 应力张量 $\boldsymbol{\tau}_{sgs}$ “学习”为解析流的函数。网络所最小化的物理残差，

r_{LES}(\boldsymbol{x},t) = \partial_t \tilde{\boldsymbol{u}} + (\tilde{\boldsymbol{u}}\cdot\nabla)\tilde{\boldsymbol{u}} + \frac{1}{\rho}\nabla \tilde{p} - \nu \nabla^2 \tilde{\boldsymbol{u}} + \nabla\cdot \boldsymbol{\tau}_{sgs} - \boldsymbol{f},

明确包含了这个学习到的项。这为直接从数据中发现新的、更准确的湍流模型开辟了道路，而这一切都由 LES 提供的稳健物理框架所指导。

从喷气发动机的轰鸣到深海的静谧混合，从微芯片的设计到气候变化的巨大挑战，大涡模拟远不止是一个计算工具。它是一个统一的概念，一个揭示混沌中结构的透镜，以及一座连接我们对物理学的基本理解与我们所居住的复杂世界的桥梁。