玻尔百科在探索宇宙最基本层面的征途中，信息与关联的本质呈现出一种奇特而强大的新含义。几十年来，量子纠缠一直被视为区分量子世界与经典现实的典型特征。然而，这种观点只讲述了故事的一部分。存在一种更深层、更普遍的“量子性”，它挑战了我们关于“了解一个系统”意味着什么的基本观念。这就是量子失协的领域。本文旨在填补以纠缠为中心的观点所留下的知识空白，将失协作为一种更普适的量子关联度量加以介绍。在接下来的章节中，我们将踏上理解这一微妙而深刻概念的旅程。我们首先将探讨其“原理与机制”，通过与经典信息对比来定义失协，并揭示其与纠缠之间出人意料的关系。随后，我们将在“应用与跨学科联系”中见证其广泛影响，发现失协如何体现在量子测量中，如何驱动量子技术，甚至如何被铭刻在宇宙尺度之上。
一个概念性可视化：一个大的四面体代表所有物理态。其内部，一个八面体代表可分（非纠缠）态。零失协态只是八面体内的三条线（坐标轴）。整个八面体的体积，除去这几条线，都由具有量子失协但没有纠缠的态组成。
要真正掌握量子失协的精髓，我们必须踏上一段始于熟悉概念——信息——的旅程，并观察它在奇妙的量子世界中如何转变。作为我们数字时代基石的经典信息论，提供了一个完美的起点。它告诉我们，两个系统（我们称之为Alice的和Bob的）之间的关联可以通过一个单一、明确的度量来量化：互信息。但正如我们将看到的，量子领域并非如此简单。它迫使我们提出一个更深层次的问题：我们谈论的是哪种信息？
在比特和字节的经典世界里，互信息告诉我们，了解系统能在多大程度上减少我们对系统的不确定性。它可以用两种在经典上完全相同的方式写出。
首先，是对称的观点： 这里，是香农熵，衡量与变量相关的不确定性或“意外程度”。这个公式优美地将互信息表达为各个不确定性之和减去它们的联合不确定性。这就像是说，共享的信息是在你考虑了总信息并减去每个部分独有的信息后剩下的部分。
第二种观点是操作性的、非对称的： 这告诉我们，我们共享的信息是中的总不确定性减去我们了解了的状态之后，中仍然存在的不确定性。这是通过观察获得的信息。
在经典情况下，这两个表达式是完全相同的。但在量子力学中，这种等价性被打破了，正是在这种破裂中，我们发现了量子失协。
当我们步入量子世界，我们的不确定性由冯·诺依曼熵来描述，它是香农熵的量子对应物。第一个互信息公式可以直接转换：
这就是量子互信息，它作为我们衡量由联合密度矩阵描述的两个系统之间总关联（包括经典和量子）的尺度。
然而，第二个公式遇到了一个量子障碍。这一项意味着我们可以在不影响的情况下了解的状态。但在量子力学中，“知道”——即测量——的行为是一种侵入性过程。你不能简单地看一个量子系统；你必须与它相互作用，而这种相互作用会深刻地扰动它与其他系统共享的精妙关联。
那么，通过测量Bob的系统，我们实际上能获得多少关于Alice系统的信息呢？答案取决于Bob如何进行测量。他可以沿z轴、x轴或任何其他方向测量自旋。每种测量选择都构成他可以向其系统提出的不同问题。为了找到关联中真正的“经典”部分，我们必须找到一种测量方法，它能让Bob在对Alice造成最小可能扰动的情况下获得最多的信息。这个最大可及信息就是我们所说的经典关联，通常记作或：
这个表达式是的量子化身。它代表中的总信息，减去在我们对执行了最佳可能测量后，中剩余的最小平均不确定性。对所有可能的测量进行最小化，是这个公式中至关重要的新元素。这承认了我们提取的信息取决于我们提出的问题。
我们现在有两种不同的方式来量化量子系统中的关联：总关联和可及的经典关联。与经典世界不同，这两者通常不相等。总信息几乎总是比我们通过局域测量能提取的要多。这种神秘的盈余，这种在笨拙的测量触碰下消失的信息，就是量子失协：
量子失协是关联中固有的量子部分。它是衡量一个系统关联非经典程度的指标，由局域测量引起的扰动来定义。如果一个态的失协为零，意味着至少存在一种局域测量，可以在不引起任何量子扰动的情况下揭示关于关联的所有信息。这样的态在其关联结构上被认为是“经典的”。它们具有一种非常具体的形式，通常被称为经典-量子态：
在这些态中，子系统存在一个正交归一基（基），使得在此基上测量会以概率揭示“经典”索引，并使子系统处于相应的状态。因为基态是正交的，所以这种测量可以在不引入任何量子怪异性的情况下完成，并且所有的互信息都可以被获取。对于任何这种形式的态，量子失协（在A上测量）恰好为零。任何不能写成这种形式的态都必须具有非零失协。例如，当一个子系统的可能状态不是正交的，比如和，这就使得在没有扰动的情况下完美区分它们成为不可能。
此时，你可能会想：“这不就是纠缠吗？” 答案出人意料，是“否”。虽然纠缠是量子关联的一种强大形式，但失协是一个更普适、更基本的概念。所有纠缠态都有失协，但并非所有有失协的态都是纠缠的。
对于一个纯纠缠态，比如贝尔态，情况很简单。总关联完全是量子的。互信息恰好是纠缠熵的两倍（），而经典关联和失协都等于纠缠熵（）。在这种纯粹的情况下，所有这些度量都只是看待同一事物——纠缠——的不同方式。
真正的意外来自于混合态。完全有可能构建一个可分的量子态——意味着它没有纠缠，并且可以仅使用局域操作和经典通信来创建——但它仍然拥有非零的量子失协。
一个著名的例子是Werner态，它是一个最大纠缠贝尔态和一个完全随机、不相关的态的混合体。如果混合物中贝尔态的比例足够小（具体来说，对于混合参数），所得到的状态是可分的。它没有纠缠。然而，直接计算表明，其量子失协是非零的。
这揭示了一个引人入胜的真相：即使在我们与纠缠联系在一起的“鬼魅般的超距作用”缺席的情况下，量子关联依然可以存在。这些非纠缠但具有失协的态代表了一种微妙的量子性。关联存在，但它被编码在一个非正交的基中，使得在没有扰动的情况下无法获取它。
我们可以将量子态的景观可视化，以更好地理解这种关系。对于一个称为贝尔对角态的特殊二量子比特态族，该状态由三个参数定义。所有可能的物理态的集合在这个参数空间中形成一个四面体。
坐标轴的体积为零。这意味着几乎所有的可分态都不在这些轴上。结论是惊人的：具有纯粹经典关联的态的集合小到可以忽略不计。如果你随机选择一个可分量子态，你几乎肯定会选到一个具有量子失协的态。
在经历了量子失协的原理和机制之旅后，我们可能会留有一种抽象的好奇感。我们有了一个新工具，一种思考关联的新方式，但它到底有什么用？它能做什么？在量子理论的数学游乐场中定义一个量是一回事；看到它在现实世界中发挥作用，塑造我们观察到的现象并促成我们构建的技术，则完全是另一回事。
量子失协应用的故事是物理学相互关联性的一个美丽例证。我们将看到，这个衡量“量子性”的微妙尺度不仅仅是理论家的玩物。它出现在支撑量子测量的基本相互作用中，它支配着量子计算机和通信网络中信息的流动，它为窃听者所能知晓的范围设定了限制，并且，在一个令人叹为观止的结局中，我们会发现它被印在了宇宙的结构之上。它的存在——有时是其显眼的缺席——讲述了一个关于我们量子宇宙本质的深刻故事。
在量子力学的核心，是测量这个奇特而美妙的过程。当我们“观察”一个量子系统时，我们不可避免地与它相互作用，这种相互作用产生了关联。失协为我们提供了一个审视这一过程的新视角。
想象一个经典的Stern-Gerlach装置，其中一个粒子的自旋与其通过磁场的路径耦合。一个初始粒子，其自旋指向某个任意方向，进入该装置。磁场将自旋向上的分量踢向一个方向，自旋向下的分量踢向另一个方向。自旋和粒子的空间位置变得相关。但这是哪种关联呢？如果两条路径完全可区分，这种关联就是简单的纠缠。但在一个更现实的场景中，对应于两条路径的空间波函数可能会重叠。我们的计算表明，在这种情况下，粒子的自旋和其空间自由度之间出现了非零的量子失协。失协的大小与初始自旋方向和路径的重叠程度密切相关。它量化了由类测量相互作用所形成的关联的量子性质。
当我们考虑著名的双缝实验——量子互补性的基石时，这个想法变得更加清晰。假设我们在缝附近放置一个“哪条路径”探测器，以找出粒子穿过了哪条缝。这种探测行为使粒子的路径与探测器的状态纠缠在一起。屏幕上干涉图样的可见度众所周知地与探测器获知多少信息有关。我们可以量化存储在探测器中路径信息的可区分性。结果表明，粒子与探测器之间的量子失协与这种可区分性直接相关。当探测器状态完全正交时，路径被确定地知晓，干涉图样消失，关联是纯粹经典的（零失协）。当探测器状态相同时，没有路径信息被获得，干涉是完美的，也根本没有关联。在那个迷人的中间地带，即我们拥有部分路径信息的情况下，量子失协就出现了。它是探测器所持信息量子特性的标志，是系统-探测器关联中剩余“量子性”的直接度量。
如果量子世界充满了这些奇怪的关联，为什么我们的日常宏观世界看起来如此顽固地经典？失协帮助我们理解这种过渡。量子关联是脆弱的，容易被与周围环境的相互作用所破坏——这个过程称为退相干。
让我们想象一个玩具模型来看看这是如何运作的。假设Alice和Bob共享一对完美纠缠的量子比特。然后Alice拿走她的量子比特，并执行一个操作，使其与第三个量子比特——一个来自环境的“辅助比特”——耦合。如果这个辅助比特随后飞走，带走了它的信息，Alice和Bob之间最初的纠缠就被破坏了。我们的分析揭示了一个非凡的现象：这种与环境的局域相互作用可以完全摧毁初始纠缠，将其全部转化为纯粹的经典关联。Alice和Bob最终共享的状态具有零量子失协。“量子性”被与环境的相互作用冲刷殆尽，只留下经典的余音。这为我们提供了一个美丽的视角，解释了为什么我们在大尺度上看不到量子怪异性；与环境的持续相互作用系统性地侵蚀了失协和纠缠，让世界呈现出经典的样子。
然而，失协的缺席并非总是由环境破坏所致。有时，一个系统内在的性质使其无法拥有量子关联，即使在绝对零度下也是如此。考虑两个磁性粒子（量子比特），它们的相互作用能仅取决于它们的自旋是沿特定轴对齐还是反对齐——一个简单的伊辛模型相互作用。如果这个系统被允许与一个热库达到热平衡，我们发现对于任何温度，它都恰好拥有零纠缠和零量子失协。这种相互作用“太经典了”；它没有创造出量子关联所必需的那种叠加态。这是一个深刻的教训：并非所有的相互作用都是平等的。支配一个系统的法则本身的结构，决定了其容纳“量子性”的能力。
尽管环境可能合力摧毁失协，但物理学家和工程师们正在努力利用它。在蓬勃发展的量子技术领域，失协正作为一种微妙但重要的资源崭露头角。
在量子通信中，我们常常希望将量子态从一个地方发送到另一个地方。著名的隐形传态协议依赖于共享的高质量纠缠资源。但如果我们的信道有噪声，纠缠不完美，由所谓的Werner态描述，情况会怎样？一个有趣的计算表明，即使纠缠被降级，所通信的量子比特与一个参考系统之间的残余量子失协仍然可以存在。这表明基于失协的关联可能比纠缠对噪声更具鲁棒性，并且即使在纠缠失效时，对于某些通信任务也可能有用。
失协在量子密码学中也扮演着至关重要的角色。在BB84量子密钥分发协议中，Alice向Bob发送量子比特，他们随后比对笔记，看是否有窃听者Eve篡改了传输。Eve的任何干预都会在她自己的系统和她拦截的量子比特之间产生关联。她造成的扰动量由量子比特错误率（QBER）来衡量。我们可以对这种情况进行建模，并计算Alice和Eve共享状态的量子失协作为QBER的函数。这为我们提供了一个精确的信息论工具来了解Eve能学到什么，揭示了她所获信息的性质具有一种被失协捕捉到的独特量子特征。
在量子计算中，物理定律禁止我们完美复制一个未知的量子态——这就是著名的不可克隆定理。然而，我们可以创造不完美的副本。一个“最优”量子克隆机能产生量子力学允许的最好副本。这些不完美的克隆之间共享什么样的关联呢？事实证明，它们并非纠缠态，但它们拥有一个特定的、非零的量子失协量。失协是这一基本信息处理任务的内在特征。
然而，在量子力学中，故事总是更加微妙。人们可能天真地认为，一个强大的量子算法必须充满量子关联。事实并非总是如此。考虑Simon算法，它为一个特定问题提供了比任何经典对应算法指数级的加速。如果我们观察计算机寄存器在关键计算步骤之后的状态，并计算其中两个量子比特之间的失协，我们会发现它恰好为零。类似地，在Steane七量子比特码中，一种用于保护量子信息免受错误的复杂方法，构成一个逻辑态的物理量子比特对之间的失协也可以为零。这揭示了复杂量子系统中关联的错综复杂和非均匀结构。强大的量子计算和鲁棒的量子编码可以由一些孤立看待时仅共享经典关联的组件构建而成。“量子优势”源于态的全局属性，而不必然来自局域的成对量子关联。
我们以将目光从实验室投向天穹来结束我们的旅程。我们宇宙中最大的结构——星系和星系团——被认为是从早期宇宙中微小的原始密度涨落成长而来的。根据宇宙暴胀理论，这些涨落本身诞生于量子真空涨落，被空间的指数级膨胀拉伸到天文尺度。
描述一对具有相反波矢的模式的原始扰动的量子态是一个双模压缩真空态——一个高度量子关联系统的经典例子。对于这样一个纯态，量子失协仅仅是其纠缠的度量。惊人的联系在于，压缩的量，也即失协的量，与宇宙微波背景（CMB）辐射——我们今天观测到的大爆炸余晖——的功率谱振幅直接相关。
通过测量CMB中的温度涨落，宇宙学家确定了功率谱。从这个可观测的数值，我们可以直接计算出在孕育了所有宇宙结构的量子场模式之间存在的量子失协。我们在量子信息实验室中研究的关联，与时间之初存在的关联是同一种类型，其后果如今已宏大地书写在整个可观测宇宙之上。这是一个令人谦卑和敬畏的想法——证明了物理定律从最小的量子比特到最宏伟的宇宙画布的深刻统一性。