量子比特削减

在量子层面模拟分子和材料是量子计算最有前景的应用之一，它掌握着在医药、能源和材料科学领域取得突破的关键。然而，这一前景面临着一个巨大的障碍：“维度灾难”，即描述一个量子系统所需的计算资源会随着其规模呈指数级增长。这使得即使是模拟中等复杂度的分子，对于当前和近期的量子设备来说也成为一项棘手的任务。因此，核心挑战不仅在于制造量子计算机，还在于找到巧妙的方法使问题能够适应这些计算机。

本文探讨了一种旨在克服这一障碍的强大技术：量子比特削减。这是一种利用物理系统深层、内在的对称性来系统性地缩减模拟规模的方法。通过理解和利用这些隐藏的结构，我们可以将看似不可能的计算转变为可管理的计算。本文将引导您了解该技术的核心逻辑，首先通过探讨其“原理与机制”，详细说明物理对称性如何被转化为量子比特的削减。随后，我们将审视其“应用与跨学科联系”，展示削减技术如何显著增强化学领域的量子算法，使其更快、更高效、更有可能成功。

物理学的核心是寻求简洁与统一。我们常常以​​对称性​​的形式发现这种优雅——即那些保持系统基本定律不变的变换。一个旋转的球体从其轴线周围的任何角度看都一样。今天的物理定律与昨天的完全相同。这些对称性不仅仅是美丽的奇观；它们极其强大。它们引出了守恒定律，简化了我们的方程，并告诉我们什么是可能的，什么是被禁止的。

在分子的量子世界中，对称性更为抽象，但同样深刻。当我们在量子计算机上模拟一个分子时，我们不仅仅是在解一组极其复杂的方程。我们实际上在，或者说至少我们应该在，进行一场寻找这些隐藏对称性的寻宝之旅。利用它们是驯服复杂性、使不可能的计算成为可能的关键。

在许多化学体系中，最基本的对称性是粒子及其自旋的守恒。在一个典型的分子哈密顿量中，电子总数 $N$ 是恒定的。此外，在没有强磁场或重原子引起自旋轨道耦合的情况下，自旋向上的电子数 $N_\alpha$ 和自旋向下的电子数 $N_\beta$ 是独立守恒的。

从这些连续的守恒定律中，我们可以提炼出一种更简单的二元对称性：​​奇偶性​​（parity）。电子数是偶数还是奇数？这是一个“是”或“否”的问题，一种 ​​$\mathbb{Z}_2$ 对称性​​，这是一种花哨的说法，指代只有两种可能性的对称性，就像一个只能处于开或关状态的电灯开关。我们可以定义一个​​奇偶校验算符​​（parity operator），$P = \exp(i \pi N)$，它作用于一个态，如果粒子数 $N$ 是偶数，则返回本征值 $+1$；如果 $N$ 是奇数，则返回本征值 $-1$。因为我们的哈密顿量分别守恒 $N_\alpha$ 和 $N_\beta$，所以它也必须遵守它们各自的奇偶性。这给了我们两个独立的“开关”来表征我们的量子态：自旋向上的奇偶性 $P_\alpha = \exp(i \pi N_\alpha)$ 和自旋向下的奇偶性 $P_\beta = \exp(i \pi N_\beta)$。这些算符中的每一个都与哈密顿量对易，意味着系统的能量本征态也是这些奇偶校验算符的本征态。我们的宝箱已经满了：我们找到了对称性。现在，我们如何在基于量子比特的计算机上使用它们呢？

量子计算机不说电子和轨道的语言，它说的是量子比特和泡利（Pauli）算符（$X$，$Y$ 和 $Z$）的语言。为了模拟我们的分子，我们必须首先转换我们的问题，这个过程称为​​映射​​（mapping）。我们选择的转换方式对于我们能否轻松利用刚刚发现的对称性具有深远的影响。

让我们从最直接的转换开始，即 ​​Jordan-Wigner (JW) 映射​​。这个想法很简单：分子中的每个自旋轨道都分配给一个量子比特。如果量子比特处于 $|1\rangle$ 态，则轨道被占据；如果处于 $|0\rangle$ 态，则轨道为空。现在，让我们看看我们的奇偶校验算符会发生什么。单个轨道的奇偶性 $(-1)^{n_p}$（其中 $n_p$ 为 0 或 1），被泡利 $Z$ 算符作用于其对应量子比特的行为完美地镜像了，对于处于 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$ 态的量子比特，其本征值为 $\pm 1$。这简直是完美匹配！

这带来了一个优美而关键的结果：一组轨道的总奇偶校验算符变成了对应量子比特的 $Z$ 算符的乘积。例如，自旋向上的奇偶性 $P_\alpha$ 是所有自旋向上轨道的奇偶性之积，它映射为作用于所有自旋向上量子比特的一串泡利 $Z$ 算符：

由于原始哈密顿量与 $P_\alpha$ 对易，映射后的量子比特哈密顿量必须与这个泡利算符串 $S_\alpha$ 对易。我们成功地将抽象的物理对称性转化为了量子计算机中的一个具体算符，即一个​​泡利算符串​​（Pauli string）。

所以，我们有一个量子比特哈密顿量 $H$ 和一组泡利算符串，即我们的对称性生成元 $S_k$，它们都与 $H$ 对易。这有什么用呢？假设我们正在模拟氢分子 $\mathrm{H}_2$。它有一个自旋向上的电子 ($N_\alpha=1$) 和一个自旋向下的电子 ($N_\beta=1$) 。甚至在启动计算机之前我们就知道，我们模拟的任何有效状态都必须是自旋向上奇偶校验算符 $P_\alpha$ 的本征态，其本征值为 $(-1)^1 = -1$。这意味着对应的泡利算符串 $S_\alpha$ 的本征值也必须是 $-1$。

我们的量子比特的希尔伯特空间是巨大的，但我们只对其中很小的一部分感兴趣——即对称性具有正确值的那一部分。其他的一切都无关紧要。​​量子比特削减​​是一个极其巧妙的程序，用以舍弃所有那些无关的计算空间。

想象一下，您有一个带有几十个旋钮的复杂调音台。您意识到为了获得完美的声音，特定的旋钮组合必须始终满足一个规则，例如，旋钮 5 和旋钮 8 必须始终调到相同的水平。您需要不断地同步调整它们。如果能重新布线，让一个主旋钮同时控制这两个旋钮，岂不是更容易？

这正是我们在量子比特削减中所做的事情。我们有一个像 $S_1 = Z_0 Z_2$ 这样的对称性，它作用于两个量子比特，但我们知道它的值是固定的，比如说 $-1$。我们还不能直接移除一个量子比特，因为这个对称性是“分布式”的。诀窍是应用一个“重构”电路——一个​​Clifford 幺正变换​​，通常由 CNOT 门构成——来变换我们的基。我们可以设计这个幺正算符 $U$ 来实现一些神奇的事情：它将我们分布式的对称性映射到单个量子比特上。例如，一个精心选择的 $U$ 可以实现以下效果：

我们的双量子比特对称性算符变成了一个简单的单量子比特算符！在这个新的、重构后的描述中，量子比特哈密顿量 $H' = U H U^\dagger$ 现在将与 $Z_2$ 对易。但是我们知道这个对称性的值必须是 $-1$。这意味着在任何有效状态下，量子比特 2 都是冻结的。它始终处于 $|1\rangle$ 态，所以算符 $Z_2$ 的作用总是等同于数字 $-1$。因此，我们可以遍历新的哈密顿量 $H'$，并将其中所有的 $Z_2$ 替换为值 $-1$。作用于量子比特 2 的所有算符都消失了，这个量子比特实际上从我们的模拟中被移除，或者说被​​削减掉了​​（tapered off）。

在一个引人注目的例子中，一个具有两个此类对称性 $S_1 = Z_0 Z_2$ 和 $S_2 = Z_1 Z_3$ 的 4 量子比特哈密顿量，其目标态的两个对称性本征值均为 $-1$。通过应用基于 CNOT 的重构，两个对称性都被映射到单量子比特算符 $Z_2$ 和 $Z_3$ 上。通过将它们替换为其本征值 $-1$，看似复杂的 4 量子比特问题坍缩成了一个简单的 2 量子比特问题。更妙的是，削减后的 2 量子比特哈密顿量非常简单，其基态能量可以立即手动计算出来，得到答案为 $-3.234$ Hartree。这就是对称性的力量：将一个棘手的量子问题变成一个简单到可以用纸笔解决的问题。

Jordan-Wigner 映射很直观，但它迫使我们使用 CNOT 门进行额外的“重构”步骤来隔离我们的对称性。我们能否选择一种更智能的初始转换，一种从一开始就内置了对称性的转换？

答案是肯定的，它以​​奇偶校验映射​​（parity mapping）的形式出现。这是将费米子占据数编码到量子比特中的另一种方式。量子比特 $q_j$ 不再告诉你轨道 $j$ 是否被占据，而是告诉你直到并包括轨道 $j$ 在内的所有轨道的总占据数的奇偶性（偶数还是奇数）。

这看起来更复杂，但它有一个惊人优雅的回报。如果我们足够聪明，以​​自旋分组​​（spin-blocked）的顺序排列我们的轨道（所有自旋向上的轨道在前，然后是所有自旋向下的轨道），对称性就会手到擒来。通过这种排序，自旋向上电子的奇偶性 $P_\alpha$ 直接编码在*自旋向上块的最后一个量子比特的状态中。总粒子数奇偶性则编码在寄存器的最后一个量子比特*中。

我们曾需要用泡利算符串去寻找并用 CNOT 门来对角化的对称性，现在自动地表现为单量子比特的 $Z$ 算符！这是一个关于物理学和数学核心原则的美丽范例：在一个坐标系中看起来困难的问题，在另一个坐标系中可能变得微不足道。通过从一开始就选择正确的“语言”，奇偶校验映射使削减过程变得毫不费力。我们只需确定目标对称性扇区（例如，$N_\alpha$ 为奇数，$N_\beta$ 为奇数），这将相应量子比特的 $Z$ 算符的本征值固定为 $-1$，于是我们就可以从模拟的一开始就移除这两个量子比特。

我们已经削减了哈密顿量，缩减了量子比特寄存器，并运行了我们的模拟来找到，比如说，基态能量。但是其他属性呢？偶极矩是多少？原子核上的力是多少？这些属性由算符描述，它们也是泡利算符串的总和。当我们已经丢弃了量子比特后，如何测量它们的期望值？

事实证明，削减过程为我们提供了一本精确的字典，用于在小的、削减后的世界和原始的、全尺寸的世界之间进行转换。关键是要记住我们的“重构”幺正算符 $U$ 和对称性投影如何影响不同的算符。假设我们的对称性被映射到 $Z_3$，并且我们将其本征值固定为 $s = -1$。 我们原始问题中的任何算符都可以在移除量子比特之前，在变换后的基中写出。

考虑一个可观测量，在变换后的基中，它作用于剩余的量子比特，并在被削减的量子比特上表现为单位算符 $I_3$。它在完整系统中的期望值与它在削减后系统中的期望值完全相同。什么都没有改变。

现在，考虑一个在被削减的量子比特上具有 $Z_3$ 的可观测量。其期望值是其约化部分的期望值，但乘以对称性本征值 $s=-1$。

那么，带有 $X_3$ 或 $Y_3$ 的算符呢？这些算符与对称性算符 $Z_3$ 反对易；它们会翻转第三个量子比特的状态。但是我们已经将系统锁定在一个量子比特 3 不能 翻转的状态。这样的算符试图将系统推向我们已经宣布为禁区的宇宙部分。结果如何？其期望值保证为零。

这是这个谜题最后、最美妙的一块。量子比特削减不是一种有损的近似。它是一个精确的过程，利用我们物理系统的基本对称性，在一个更紧凑、可管理的子空间中隔离并解决问题。它印证了这样一个观点：理解一个问题的深层结构不仅仅是一种智力活动——它是我们找到解决方案的最强大工具。

我们花了一些时间欣赏量子比特削减这一复杂精密的机制，它源于对称性与信息之间的深刻联系。我们看到，物理系统中的守恒量引出对称性，而对称性又可以用来缩减我们需要模拟的量子空间的大小。现在，在窥探了引擎室之后，是时候驾驶这台机器上路了。让我们看看这个美丽的理论物理学成果究竟能做什么，能把我们带到哪里，以及它如何从根本上改变我们解决科学中一些最困难问题的方法。

量子化学或许是量子计算最自然、最紧迫的竞技场。其目标是宏大的：从第一性原理出发，计算分子和材料的性质。我们研究的核心对象是电子哈密顿量，这是一个可怕的数学“猛兽”，描述了系统中每个电子的能量和相互作用。将这个哈密顿量映射到量子计算机上是我们的第一步，但由此产生的问题对于即使是最雄心勃勃的量子设备来说也常常过于庞大。希尔伯特空间中的态数随自旋轨道数的增加呈指数增长，这一现象被恰如其分地称为‘维度灾难’。量子比特削减是我们对抗这一灾难最锋利的宝剑。

唾手可得的成果：计算电子数

在任何非相对论性分子中，最基本的对称性是粒子数守恒和自旋守恒。哈密顿量既不创造也不毁灭电子，也不翻转它们的自旋。这意味着，对于我们希望研究的任何给定状态——比如一个中性分子的基态——自旋向上的电子数 $N_{\alpha}$ 和自旋向下的电子数 $N_{\beta}$ 都是固定的。

这个看似简单的事实是一个强大的约束。正如我们在前一章中探讨的，我们可以构造出测量 $N_{\alpha}$ 和 $N_{\beta}$ 奇偶性（偶数或奇数）的算符。通过正确的编码，例如奇偶校验映射，这些守恒的奇偶性对应于作用在单个特定量子比特上的算符——通常只是一个单一的泡利 $Z$ 算符。例如，在使用最小基组模拟氢分子 $\mathrm{H}_2$ 时，可能会遇到一个 4 量子比特的问题。通过注意到基态是具有一个自旋向上（$N_{\alpha}=1$）和一个自旋向下（$N_{\beta}=1$）电子的单重态，我们将两种电子类型的奇偶性都固定为奇数（$-1$）。这一知识使我们能够从模拟中完全移除四个量子比特中的两个，从一开始就将我们的量子寄存器的大小减半。这就像被告知你在一条特定的街道上找房子；你可以扔掉城市其余部分的地图。

几何的优雅：点群对称性

但我们还可以做得更好。分子不仅仅是一堆电子的集合；它们是结构化的几何物体。水分子（$\mathrm{H}_2\mathrm{O}$）具有优美的回旋镖形状，如果围绕平分两个氢原子的轴旋转 180 度，它看起来是一样的。这是一种 $C_{2v}$ 点群对称性。自然界的对称性不仅仅是为了美观；它们是关于其底层物理的深刻线索，并且直接转化为更多的守恒量。

与粒子数一样，这些几何对称性也可以转化为量子比特算符。对于像水这样的分子，我们可以找到与电子波函数在旋转或反射下如何变换相关的额外的独立 $\mathbb{Z}_2$ 对称性。对于一个特定的态，比如完全对称的基态，我们知道应用这些对称性操作的预期结果。我们每识别出一个新的、独立的对称性，就可以再削减一个量子比特。

结果可能令人震惊。在一个对水分子的真实（尽管简化）的模拟中，我们可能从 6 个活动量子比特开始。通过应用针对两个自旋奇偶性对称性的削减，以及从其 $C_{2v}$ 几何形状中导出的两个额外对称性，我们可以将问题规模从 6 个量子比特削减到仅仅 2 个。这不是一个小调整，而是颠覆性的改变。一个 6 量子比特的空间有 $2^6=64$ 个维度，而一个 2 量子比特的空间只有 $2^2=4$ 个维度。我们利用对称性的基本原理，使问题缩小了十六倍，将其从一个具有挑战性的计算转变为在当今硬件上易于解决的计算。

所以我们需要的量子比特更少了。这是一个巨大的胜利，因为量子比特是宝贵且充满噪声的资源。但故事并没有就此结束。削减技术的好处贯穿整个计算过程，使算法本身更快、更可靠。这是因为削减技术清理的是整个房子，而不仅仅是一个房间。

更精简、更强大的哈密顿量

我们必须在量子计算机上实现的量子比特哈密顿量，可以写成一长串泡利算符串的总和：$H = \sum_{j} h_{j} P_{j}$。为了模拟量子相位估计算法（QPE）的时间演化，或在变分量子本征求解器（VQE）中测量能量，我们基本上必须实现这些小项中的每一项。总“门成本”（gate cost）作为我们算法运行时间的代表，与这个总和中的项数有关。

通过利用对称性，我们发现这些项中有许多，$h_{j}$，都恰好为零！它们被对称性所禁止。削减不仅减少了量子比特的数量；它通过剔除所有与所选对称性扇区不一致的项来稀疏化哈密顿量。这可以导致计算工作量的急剧减少。在一个对小分子进行的假设性但具有代表性的计算中，若考虑量子比特和门数减少的综合指标，适当地考虑其对称性可以使计算效率提高五倍之多。这意味着量子线路更短，更不易出错——这在当前嘈杂中等规模量子（NISQ）设备时代是一个关键优势。

磨利长矛：提高算法成功率

削减技术最微妙也最深刻的好处可能在于它如何提升我们量子算法的成功率。想象一下，您正在运行 QPE 来寻找分子的基态能量。您从一个对基态的良好猜测 $| \psi_0 \rangle$ 开始，该算法旨在从您的猜测中投影出真实本征态的能量。

但如果你的初始猜测态 $| \psi_0 \rangle$ 是不完美的呢？如果它包含了少量具有错误电子数或错误分子对称性的态的混合怎么办？如果不进行削减，量子计算机将忠实地演化整个状态，包括这些物理上无关的成分。当你测量结果时，你可能会得到对应于这些“伪”态之一的能量，这会污染你的数据，并降低找到你真正想要的答案的概率。这就像你试图将收音机调到一个特定电台，而十几个其他电台的信号却像静电一样渗透进来。

削减从根本上解决了这个问题。通过重新构造哈密顿量，使其只作用于具有正确对称性的子空间，我们保证计算永远不会偏离到那些禁区。每一份计算努力都集中在物理相关的扇区内。这确保了两件事：首先，QPE 报告的任何能量都保证对应于一个具有正确对称性的态。其次，在算法的任何一次运行中测量到目标能量的概率增加了，因为所有“浪费”在伪态上的概率现在都集中在正确的扇区内。与后选择（post-selection，即运行实验并丢弃具有错误对称性的结果）等替代技术相比，削减技术要优越得多。它不丢弃任何一次测量（shot），不仅提高了单次测量的成功率，还提高了实验的整体吞吐量。

虽然我们的旅程一直以量子化学的例子为指导，但这种力量和原理是普适的，适用于任何具有可利用对称性的量子系统。