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杰恩斯-卡明斯模型

SciencePedia玻尔百科
定义

杰恩斯-卡明斯模型 是量子光学中的一个基础理论框架，用于描述腔内单个二能级原子与单个量子化光场模式之间的相互作用。该模型预测了原子布居数的坍缩与复苏现象，这一效应被视为电磁场量子化特征的决定性证据。其核心原理构成了腔量子电动力学的基础，并支持了单光子源的开发以及量子计算中用于状态读取的量子非破坏性测量技术。

关键要点
  • 杰恩斯-卡明斯模型通过一个简化的二能级原子与单模光腔系统，精确地描述了光与物质相互作用的基本量子动力学。
  • 该模型的关键预测包括缀饰态的形成、依赖于光子数的拉比振荡，以及证明光场量子化的“坍缩与复苏”现象。
  • 在色散极限下，该模型实现了量子非破坏性测量，这是读取量子比特状态和发展量子计算的关键技术。
  • 作为理论基石，JC模型的思想可延伸至凝聚态、热力学和宇宙学等领域，用于模拟量子相变和探索基本物理效应。

引言

在量子世界的核心，存在着光与物质之间一场永恒的对话。理解这场对话的规则，是开启量子技术、探索宇宙奥秘的关键。然而，真实世界中光与物质的相互作用极其复杂。为了抓住其本质，物理学家们寻求一个既足够简单可以精确求解，又足够深刻能揭示核心物理的模型。杰恩斯-卡明斯（Jaynes-Cummings, JC）模型正是这一追求的完美结晶，它被誉为研究光-物质相互作用的“氢原子”。

本文将带领读者深入杰恩斯-卡明斯模型的优雅世界。我们将分章节探索：

  • 原理与机制​：我们将首先揭开JC模型的面纱，理解其如何将一个原子与一个光子简化为一场优美的“双人舞”。通过其哈密顿量、旋转波近似和守恒律，我们将发现缀饰态、拉比振荡以及“坍缩-复苏”等纯粹的量子现象。
  • 应用与跨学科连接​：接着，我们将见证这个看似简单的模型如何成为现代科技与基础科学的强大引擎。从作为腔量子电动力学和量子计算的基石，到模拟凝聚态物质的奇异相变，甚至触及宇宙学和基础物理学的深层奥秘，JC模型的思想无处不在。

通过这段旅程，您将不仅掌握一个重要的物理模型，更能体会到物理学内在的统一性与和谐之美。让我们从第一章开始，深入这场量子舞蹈的核心。

原理与机制

想象一下物理学中最简单、最优雅的一场双人舞。舞者一位是物质世界的基本单元——一个原子，另一位是光的基本单元——一个光子。它们被共同囚禁在一个由完美镜面构成的“盒子”里，这个盒子我们称之为“光学谐振腔”。这场舞蹈的编舞，正是量子力学本身。杰恩斯-卡明斯（Jaynes-Cummings, JC）模型就是这场舞蹈的剧本，它以惊人的简洁和深刻的内涵，揭示了光与物质相互作用的量子本质。

要理解这场舞蹈，我们首先需要认识两位舞者各自的特性。我们的原子被简化为最纯粹的形式：一个“二能级系统”。它只能存在于两个状态之一：能量较低的“基态” ∣g⟩|g\rangle∣g⟩ ，或者能量较高的“激发态” ∣e⟩|e\rangle∣e⟩。它就像一枚只能正面或反面朝上的硬币。而光场，在这个被完美反射的盒子里，也不能随心所欲。它的能量也是量子化的，只能一份一份地存在，每一份能量就是一个光子。盒子里可以没有光子、有一个光子、有两个光子……但绝不会有半个光子。这就像一个梯子，你只能站在第 nnn 级台阶上，拥有 nnn 份能量，而不能悬浮在台阶之间。这两个独立的系统，原子和光场，在没有相互作用时，各自拥有自己的能量，构成了我们故事的背景。

现在，让舞蹈开始。当原子与光场相遇，它们便开始“交谈”。这种交谈遵循一个非常严格的规则：能量交换。如果一个处于激发态的原子想要回到基态，它必须释放一份能量，这份能量恰好在腔中创造一个光子。反之，一个基态原子可以吸收腔里的一个光子，让自己跃迁到激发态。这是一个精确的、一对一的能量交换过程。

然而，真实的量子世界远比这更“嘈杂”。原则上，还存在一些更奇异、更“不合拍”的相互作用，比如原子在跃迁到激发态的同时还创造了一个光子。这些过程严重违反能量守恒，在量子世界里只能作为极其短暂的“虚过程”存在。为了让我们的剧本既简洁又能抓住舞蹈的精髓，物理学家们引入了一个巧妙的简化，叫做“旋转波近似”（Rotating Wave Approximation, RWA）。这个近似的美妙之处在于，当我们只关心那些与原子跃迁频率和谐共振的“慢动作”时——也就是频率相近，舞蹈合拍时——我们可以忽略那些飞快闪过、几乎不产生任何影响的“快动作”或“反向旋转”项。这个近似非常有效，只要原子与光场之间的耦合强度 ggg 远小于它们各自的振动频率（通常是光频），这一条件在大多数实验中都轻易满足。

在旋转波近似的优雅简化下，我们得到了杰恩斯-卡明斯哈密顿量（Hamiltonian），也就是这个系统的总能量方程：

HJC=ℏωca^†a^+12ℏωaσ^z+ℏg(a^σ^++a^†σ^−)H_{JC} = \hbar\omega_c \hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2}\hbar\omega_a \hat{\sigma}_z + \hbar g (\hat{a}\hat{\sigma}_+ + \hat{a}^\dagger\hat{\sigma}_-)HJC​=ℏωc​a^†a^+21​ℏωa​σ^z​+ℏg(a^σ^+​+a^†σ^−​)

这个方程如同一首交响乐的总谱，由三个乐章构成：

  1. ℏωca^†a^\hbar\omega_c \hat{a}^\dagger \hat{a}ℏωc​a^†a^：这是光场的独奏，描述了腔中光子能量的阶梯。其中 a^†\hat{a}^\daggera^† 和 a^\hat{a}a^ 分别是光子的“创生”和“湮灭”算符，它们让光子数在能量阶梯上上下移动。
  2. 12ℏωaσ^z\frac{1}{2}\hbar\omega_a \hat{\sigma}_z21​ℏωa​σ^z​：这是原子的独白，代表了原子两个能级之间的能量差。
  3. ℏg(a^σ^++a^†σ^−)\hbar g (\hat{a}\hat{\sigma}_+ + \hat{a}^\dagger\hat{\sigma}_-)ℏg(a^σ^+​+a^†σ^−​)：这是最关键的互动乐章，是两位舞者手拉手的部分。项 a^σ^+\hat{a}\hat{\sigma}_+a^σ^+​ 描述了原子吸收（a^\hat{a}a^）一个光子并跃迁到激发态（σ^+\hat{\sigma}_+σ^+​）的过程。而项 a^†σ^−\hat{a}^\dagger\hat{\sigma}_-a^†σ^−​ 则描述了原子跃迁回基态（σ^−\hat{\sigma}_-σ^−​）并创造（a^†\hat{a}^\daggera^†）一个光子的过程。

仔细观察这个互动项，你会发现一个深刻的对称性。每一次原子激发，必然伴随着一个光子的消失；每一次原子回到基态，必然伴随着一个光子的诞生。这意味着，系统的“总激发数”——也就是光子数加上原子的激发态（激发态算1，基态算0）——在整个舞蹈过程中是守恒的！这个守恒量由算符 N^=a^†a^+σ^+σ^−\hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a} + \hat{\sigma}_+ \hat{\sigma}_-N^=a^†a^+σ^+​σ^−​ 来描述。

这个守恒定律是杰恩斯-卡明斯模型的点睛之笔。它告诉我们，一个原本无限复杂的系统（因为光子数可以无限多）可以被分解成一系列各自独立、互不干扰的简单子系统。例如，对于总激发数为 NNN 的情况，整个宇宙中只有两个状态参与舞蹈：∣g,N⟩|g, N\rangle∣g,N⟩（原子在基态，腔内有 NNN 个光子）和 ∣e,N−1⟩|e, N-1\rangle∣e,N−1⟩（原子在激发态，腔内有 N−1N-1N−1 个光子）。无论时间如何流逝，系统只在这两个状态之间来回振荡，永远不会跳到其他总激发数的“舞池”里去。

当原子和光场相互作用时，它们就不再是独立的个体了。系统的真实定态，不再是单纯的 ∣g,N⟩|g, N\rangle∣g,N⟩ 或 ∣e,N−1⟩|e, N-1\rangle∣e,N−1⟩，而是两者的量子叠加。我们称这些新的状态为“缀饰态”（Dressed States）。就好比两个频率相近的钟摆通过一根弹簧连接，它们会形成两种新的、稳定的集体振荡模式。在这里，相互作用将原本能量简并（在共振情况下）的两个“裸态”劈裂成两个能量不同的缀饰态 ∣+,N⟩|+, N\rangle∣+,N⟩ 和 ∣−,N⟩|-, N\rangle∣−,N⟩。这些缀饰态的能量构成了一个新的能级结构，被称为“杰恩斯-卡明斯阶梯”。每个激发数 NNN 的子空间都对应着这个阶梯上的一对梯级，它们之间的能量差正比于 2gN2g\sqrt{N}2gN​，这个值就是著名的“拉比频率” ΩN\Omega_NΩN​。与经典物理中场的强度决定唯一的拉比频率不同，这里的拉比频率依赖于光子数 nnn（或总激发数 NNN），这是量子场论的一个鲜明标志。

这个光子数依赖的拉比频率会产生一个惊人的、纯量子的现象：“量子坍缩和复苏”。想象一下，如果腔中的光场不是只有一个确定数目的光子，而是处于一个“相干态”——就像激光器发出的光，是许多不同光子数态的叠加。此时，如果我们将一个激发态原子放入腔中，会发生什么？原子会开始与场交换能量，其激发态布居数会开始振荡。但由于相干态中的每个光子数成分 nnn 都以其自身独特的拉比频率 Ωn=2gn+1\Omega_n = 2g\sqrt{n+1}Ωn​=2gn+1​ 进行振荡，这些不同频率的振荡很快就会因为相位不同而相互抵消，导致总的振荡幅度迅速衰减至零，这便是“坍缩”。看起来系统似乎达到了一个平庸的稳态。但奇迹发生了！由于这些频率 n+1\sqrt{n+1}n+1​ 之间存在着确定的数学关系，经过一段特定的时间后，所有这些振荡的相位会重新对齐，就像在圆形跑道上以不同速度奔跑的选手们最终会再次同时汇聚于起点一样。这时，振荡会神奇地“复苏”，恢复到初始的幅度，然后再次坍缩……这个“坍缩-复苏”的循环，是光场能量量子化的直接证据，用经典电磁场理论是完全无法解释的。

杰恩斯-卡明斯模型不仅在理论上优美，在实践中也极为强大。当原子和光场的频率有较大失谐时（即 Δ=ωa−ωc\Delta = \omega_a - \omega_cΔ=ωa​−ωc​ 很大），它们无法有效地交换能量。然而，它们之间仍然存在微弱的影响。这种影响表现为光场会轻微地移动原子的能级，这个效应被称为“AC斯塔克位移”。更奇妙的是，这个频移的大小正比于腔内的光子数 n^\hat{n}n^！频移量可以写成 δωAC=χn^\delta\omega_{AC} = \chi \hat{n}δωAC​=χn^，其中 χ=2g2/Δ\chi = 2g^2/\Deltaχ=2g2/Δ。这意味着，我们只需精确测量原子的跃迁频率，就可以“数”出腔里有多少个光子，而完全不必摧毁或吸收任何一个光子！这是一种“量子非破坏性测量”（QND），是构建量子计算机和进行精密量子测量的关键技术。

从一个简单的物理图像出发，通过一个优雅的数学模型，我们不仅揭示了光与物质相互作用的深刻的量子动力学，比如缀饰态和坍缩复苏，还找到了通向量子技术前沿的道路。这便是杰恩斯-卡明斯模型的不朽魅力——一场在量子舞台上永不落幕的、充满智慧与美的华尔兹。

应用与跨学科连接

当物理学家找到一个像 Jaynes-Cummings (JC) 模型这样简洁而又可以精确求解的模型时，他们就如同发现了一件珍宝。正如氢原子为我们打开了通往原子物理学的大门，JC 模型——一个在完美腔体中与单模光场相互作用的孤立二能级原子——也成为了我们探索光与物质在最基本层面相互作用的“氢原子”。它的简洁性掩盖了其惊人的力量和广泛的适用性。

在前面的章节中，我们已经深入探讨了 JC 模型的原理和机制。现在，我们将开启一段更为激动人心的旅程，去发现这个看似简单的模型是如何在众多科学领域中开花结果，从构建下一代量子技术，到模拟凝聚态物质，甚至触及宇宙学和基础物理学的最深层奥秘。这不仅仅是一系列应用的罗列，更是一次见证物理学内在统一性与和谐之美的发现之旅。

腔量子电动力学（Cavity QED）的基石

JC 模型的“主场”是腔量子电动力学，它在这里奠定了我们理解和操控光-物质相互作用的基础。

模型最核心的预言是原子与腔内光子之间周期性的能量交换，即拉比振荡 (Rabi Oscillations)。想象一个原子和一个光子在进行一场优雅的量子华尔兹：原子从激发态跃迁到基态，将能量交给光子；随后，光子又将能量还给原子，使其回到激发态。这个过程周而复始，构成了量子系统内在的“心跳”，是所有更复杂现象的基础。

但这不仅仅是自然发生的舞蹈，我们还可以成为这场舞蹈的编舞。通过精心设计腔体的特性，我们可以主动地改变原子的自发辐射速率，这就是著名的​珀塞尔效应 (Purcell Effect)。腔体不再是一个被动的“盒子”，而是一个主动的“环境工程师”，它可以增强或抑制原子的发光。这好比给了原子一个共鸣箱，让它在需要时“大声歌唱”，或在不需要时保持“沉默”。这种“操控量子真空”的能力是量子技术的重要一步。

更进一步，JC 模型揭示了一种纯粹的量子现象——光子阻塞 (Photon Blockade)。由于原子与光场耦合形成的“缀饰态”能级具有非谐性（即能级间的间距不相等），当一个光子进入腔体并与原子形成一个激发时，第二个光子因为能量不匹配而难以进入。腔体就像一个只能容纳一个“客人”（光子）的量子房间，或者一个单光子旋转门。这一效应使得按需制造单个光子成为可能，为量子通信和计算提供了关键的“量子比特”来源。

量子技术的赋能者

如果说腔 QED 是 JC 模型的家园，那么更广泛的量子技术领域就是它大展身手的舞台。通过进入一种称为“色散”的特殊工作模式，JC 模型从一个能量交换系统转变为一个强大的信息处理工具。

在色散区域，原子和腔体的频率有较大的失谐（∣Δ∣≫g|\Delta| \gg g∣Δ∣≫g），它们之间不再直接交换能量。取而代之的是一种更微妙的影响：原子的状态会轻微地改变腔体的共振频率，反之，腔内光子的数量也会改变原子的跃迁频率。这种现象被称为 AC 斯塔克位移 (AC Stark Shift)。这就像两个不直接交谈但能感知对方情绪的人，原子的“情绪”（量子态）改变了腔的“音调”（频率）。

这种频率的依赖性为实现​量子非破坏性测量 (Quantum Non-Demolition, QND) 打开了大门。我们可以通过精确测量原子的频率偏移来“数”出腔体中有多少个光子，而无需吸收或摧毁它们。这好比通过聆听一个瓶子的音调来判断里面装了多少水，而不是把水倒出来看。在电路 QED (Circuit QED) 领域，超导量子比特和微波谐振腔完美地实现了 JC 模型，而 QND 测量正是读取量子计算机中量子比特状态的核心技术。

JC 模型的思想还可以被轻松扩展，以构建更复杂的量子系统：

  • 多原子系统​：当多个原子与同一个腔模耦合时，我们得到了 Tavis-Cummings 模型​。这些原子可以协同行动，形成要么与光场强烈耦合的“亮态”（导致超辐射），要么完全脱耦的“暗态”。这种集体行为是理解多体量子系统同步和纠缠的关键。
  • 多模系统​：当一个原子与多个光场模式耦合时，它可以扮演一个“量子交换机”的角色。在色散极限下，原子可以通过虚光子过程，将一个模式中的光子转移到另一个模式中，从而实现不同量子比特之间的信息传递，这是构建量子网络的基础。
  • 非线性相互作用​：JC 模型的框架非常灵活，可以用来描述更奇特的相互作用，例如一个原子同时吸收或放出两个光子的情况。这展示了 JC 模型不仅是一个描述自然现象的工具，更是一种强大的语言，用以设计和理解新型的人工量子系统。

联通不同学科的桥梁

JC 模型的魅力远不止于量子光学和量子计算。它像一座桥梁，将光与物质相互作用的纯粹思想延伸到其他看似无关的物理学分支。

  • 通往凝聚态物理学​：想象一下，我们将许多 JC 系统排列成一个阵列，就像晶体中的原子一样。这就构成了Jaynes-Cummings-Hubbard (JCH) 模型​。在这个“光晶格”中，光-物质混合的准粒子——“极化激元”——可以在不同格点间跃迁。令人惊讶的是，这个系统可以展示出与真实材料中电子完全类似的量子相变：从每个格点上“粒子”数固定的“莫特绝缘体”相，转变为“粒子”可以自由流动的“超流”相。我们因此得以在高度可控的光学系统中模拟和研究深奥的凝聚态多体物理。

  • 通往纳米力学：JC 模型还能将量子世界与宏观（尽管是微小的）机械世界联系起来。在光力学 (Optomechanics) 领域，一个 JC 系统（如一个量子比特-腔系统）可以被用来操控一个纳米尺度的机械振子。通过改变量子比特的状态，可以改变腔内的光场，进而通过光压改变机械振子的有效频率（即“光学弹簧效应”）。单个原子的量子态能够影响一个肉眼可见物体的机械属性，这无疑是量子技术力量的绝佳展现。

  • 通往热力学：JC 模型甚至可以被用作一个​量子热机​的核心部件。在一个构想的量子奥托循环中，JC 系统作为“工作介质”，而改变原子-腔耦合强度 ggg 就相当于经典发动机中的压缩和膨胀冲程。这类研究不仅为设计微型高效热机提供了新思路，更将我们带到了量子信息与热力学的交叉前沿，迫使我们重新思考诸如“功”、“热”和“效率”这些概念在单个量子系统层面上的深刻含义。

宇宙的回响与基础物理学的深邃

JC 模型最令人惊叹的应用，莫过于它被用来探索宇宙的奥秘和物理学的基本结构。

  • 通往宇宙学​：想象一个 JC 模型中的原子，不是在实验室的腔体里，而是在一个加速膨胀的宇宙（如德西特时空）中。根据广义相对论和量子场论，即使是“空无一物”的真空，在加速参考系看来也并非空寂，而是充满了量子涨落。这种涨落对于静止的原子来说，表现为一个具有特定温度的热浴，这就是​吉本斯-霍金效应 (Gibbons-Hawking Effect)。利用 JC 模型的数学框架，我们可以精确计算出这个原子感受到的宇宙背景温度，它正比于宇宙的哈勃常数 HHH。一个源于桌面实验的简单模型，竟能帮助我们理解时空本身的量子本质，这无疑是物理学统一性的壮丽凯歌。

  • 通往天体物理学​：一个更为大胆的设想是利用 JC 系统来探测引力波 (Gravitational Waves)。当一束引力波穿过一个光学腔时，会周期性地拉伸和压缩空间，从而调制腔的长度和共振频率。这种微小的“晃动”可以驱动 JC 系统缀饰态之间的跃迁。如果我们将引力波的频率调谐到与缀饰态的能级劈裂共振，就有可能通过观测原子状态的变化来探测到引力波的存在。这相当于为宇宙中最剧烈的天文事件，装上了一个极其灵敏的“量子麦克风”。

  • 通往基础数学结构​：最后，JC 模型还向我们揭示了物理定律背后隐藏的深刻数学之美。

    • 首先，即使是 JC 模型的经典对应版本​，也展现出非凡的复杂性。它的相空间中存在拓扑奇点，围绕这些奇点运动会导致系统运动的周期发生“跳变”，这种现象被称为完整环绕群 (Monodromy)。这表明，量子模型的复杂性并非凭空而来，其根源早已深植于对应的经典动力学之中。
    • 其次，JC 模型的哈密顿量依赖于一系列参数（如失谐 Δ\DeltaΔ 和耦合强度 ggg）。这些参数构成的空间并非平庸，而是具有内在的几何结构，可以用贝里曲率 (Berry Curvature) 来描述。这意味着，当我们缓慢改变系统参数时，系统的量子态不仅会演化，还会额外获得一个与演化路径几何形状有关的“贝里相位”。这如同在地球表面行走，走完一个闭合回路后你的朝向会发生改变一样，揭示了量子态空间内在的弯曲几何。

从一个描述原子与光子共舞的简单模型出发，我们踏上了一段穿越物理学广阔疆域的旅程。我们看到它如何成为量子计算机的核心部件，如何模拟物质的奇异相变，如何驱动纳米机器，甚至如何帮助我们聆听宇宙的低语。Jaynes-Cummings 模型是物理学力量的缩影：一个优雅而深刻的思想，能够在截然不同的领域中激起层层涟漪，并最终向我们揭示宇宙万物背后那令人敬畏的统一与和谐。

动手实践

练习 1

在深入探讨杰恩斯-卡明斯（Jaynes-Cummings）模型的量子动力学之前，首先必须理解其哈密顿量中各个参数的物理意义。本练习通过基本的量纲分析，帮助我们确定原子-场耦合强度 ggg 的物理单位。这个参数是模型的核心，它设定了原子与光腔之间相干能量交换的基本速率，因此理解其量纲对于把握模型的物理内涵至关重要。

问题​: Jaynes-Cummings 模型为双能级量子系统（例如原子或超导量子比特）与单模量子化电磁场（例如谐振腔中的光子）之间的相互作用提供了基本描述。它是量子光学和电路量子电动力学的基石。

在旋转波近似下（该近似忽略了快速振荡项），系统的哈密顿量 HIH_IHI​ 的相互作用部分由下式给出： HI=ℏg(a†σ−+aσ+)H_I = \hbar g (a^\dagger \sigma_- + a \sigma_+)HI​=ℏg(a†σ−​+aσ+​) 其中，ℏ\hbarℏ 是约化普朗克常数，ggg 代表双能级系统与场模之间的耦合强度。项 a†a^\daggera† 是电磁场模的产生算符，aaa 是湮灭算符，该场模被建模为量子谐振子。算符 σ+=∣e⟩⟨g∣\sigma_+ = |e\rangle\langle g|σ+​=∣e⟩⟨g∣ 和 σ−=∣g⟩⟨e∣\sigma_- = |g\rangle\langle e|σ−​=∣g⟩⟨e∣ 是双能级系统的上升和下降算符，其中 ∣g⟩|g\rangle∣g⟩ 和 ∣e⟩|e\rangle∣e⟩ 分别是其基态和激发态。

耦合强度 ggg 设定了量子比特与腔之间相干能量交换的基本时间尺度。通过分析相互作用哈密顿量中涉及的各物理量的量纲，确定耦合强度 ggg 的基本国际单位制（SI）单位。用基本SI单位（m, kg, s, A, K, mol, cd）表示你的答案。

显示求解过程
练习 2

掌握了模型的基本参数后，我们来探究其最基本的动力学行为。这个实践练习揭示了杰恩斯-卡明斯模型的一个关键特性：系统的绝对基态 ∣g,0⟩|g, 0\rangle∣g,0⟩（即处于基态的原子和真空光场）是一个不参与相互作用的“暗态”。通过对比该暗态与最简单的激发情形（即从 ∣g,1⟩|g,1\rangle∣g,1⟩ 开始的演化），我们可以首次观察到能量交换的标志——拉比振荡（Rabi oscillations），从而搭建起理解模型静态与动态特性之间的桥梁。

问题​: 一个可被建模为二能级量子系统的单原子，被放置在一个支持单一电磁模式的高精细度光学腔内。原子与腔模之间的相互作用由 Jaynes-Cummings 模型描述。在旋转波近似下，并假设原子跃迁频率 ωa\omega_aωa​ 与腔模频率 ωc\omega_cωc​ 完全共振 (即 ωa=ωc\omega_a = \omega_cωa​=ωc​)，组合系统的哈密顿量由下式给出： H=12ℏωaσz+ℏωaa†a+ℏg(a†σ−+aσ+)H = \frac{1}{2}\hbar\omega_a \sigma_z + \hbar\omega_a a^\dagger a + \hbar g (a^\dagger \sigma_- + a \sigma_+)H=21​ℏωa​σz​+ℏωa​a†a+ℏg(a†σ−​+aσ+​) 这里， ∣g⟩|g\rangle∣g⟩ 和 ∣e⟩|e\rangle∣e⟩ 分别是原子的基态和激发态。算符 σz=∣e⟩⟨e∣−∣g⟩⟨g∣\sigma_z = |e\rangle\langle e| - |g\rangle\langle g|σz​=∣e⟩⟨e∣−∣g⟩⟨g∣、σ+=∣e⟩⟨g∣\sigma_+ = |e\rangle\langle g|σ+​=∣e⟩⟨g∣ 和 σ−=∣g⟩⟨e∣\sigma_- = |g\rangle\langle e|σ−​=∣g⟩⟨e∣ 是原子算符。算符 aaa 和 a†a^\daggera† 是腔模中光子的湮灭算符和产生算符。常数 ggg 代表原子-场耦合的强度。代表场的零点能的常数项已被省略。

在时间 t=0t=0t=0 时，原子被制备在其基态 ∣g⟩|g\rangle∣g⟩。然而，腔场的制备是不完美的。腔内恰好包含一个光子（状态 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩）的概率为 p1p_1p1​，而腔处于真空态（状态 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩）的相应概率为 p0=1−p1p_0 = 1 - p_1p0​=1−p1​。因此，系统的初始态是态 ∣g,0⟩|g,0\rangle∣g,0⟩ 和 ∣g,1⟩|g,1\rangle∣g,1⟩ 的统计混合。

计算在任意后续时间 t>0t > 0t>0 时，发现原子处于其激发态 ∣e⟩|e\rangle∣e⟩ 的概率 Pe(t)P_e(t)Pe​(t)。你的最终答案应该是一个用 p1p_1p1​、ggg 和 ttt 表示的闭式解析表达式。

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练习 3

在前一个练习的基础上，我们现在准备好处理更一般的情形，推导杰恩斯-卡明斯模型最著名的动力学预测。本练习要求计算当原子初始处于激发态且腔内有 nnn 个光子时，原子反转数（atomic inversion）的期望值随时间的演化。解决这个问题将带领我们完整地推导出量子相干动力学的标志——拉比振荡，并揭示其振荡频率是如何依赖于光子数的，这是腔量子电动力学中的一个核心结果。

问题​: 量子计算机中一个基本操作的简化模型包含一个双能级人造原子（一个量子比特）与谐振腔内单模量子化电磁场相互作用。该量子比特的状态由其基态 ∣g⟩|g\rangle∣g⟩ 和激发态 ∣e⟩|e\rangle∣e⟩ 构成的基底来描述。场的量子态由光子数（福克）态 ∣n⟩|n\rangle∣n⟩ 描述，其中 n=0,1,2,...n=0, 1, 2, ...n=0,1,2,...。

该系统的动力学由杰恩斯-卡明斯哈密顿量决定。我们考虑原子跃迁频率与腔场频率完全共振的情况。在旋转波近似下，哈密顿量由 H=H0+HIH = H_0 + H_IH=H0​+HI​ 给出，其中： H0=ℏω(a†a+12σz)H_0 = \hbar \omega \left(a^\dagger a + \frac{1}{2}\sigma_z\right)H0​=ℏω(a†a+21​σz​) HI=ℏg(σ+a+σ−a†)H_I = \hbar g \left(\sigma_+ a + \sigma_- a^\dagger\right)HI​=ℏg(σ+​a+σ−​a†)

这里，ω\omegaω 是共振频率，ggg 是原子与场之间的耦合强度，ℏ\hbarℏ 是约化普朗克常数。算符定义如下：

  • aaa 和 a†a^\daggera† 是场模的湮灭和产生算符，满足 a∣n⟩=n∣n−1⟩a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\ranglea∣n⟩=n​∣n−1⟩ 和 a†∣n⟩=n+1∣n+1⟩a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\ranglea†∣n⟩=n+1​∣n+1⟩。
  • σz=∣e⟩⟨e∣−∣g⟩⟨g∣\sigma_z = |e\rangle\langle e| - |g\rangle\langle g|σz​=∣e⟩⟨e∣−∣g⟩⟨g∣ 是原子反转算符。
  • σ+=∣e⟩⟨g∣\sigma_+ = |e\rangle\langle g|σ+​=∣e⟩⟨g∣ 和 σ−=∣g⟩⟨e∣\sigma_- = |g\rangle\langle e|σ−​=∣g⟩⟨e∣ 是原子上升和下降算符。

在时刻 t=0t=0t=0，系统被制备在态 ∣ψ(0)⟩=∣e,n⟩|\psi(0)\rangle = |e, n\rangle∣ψ(0)⟩=∣e,n⟩ 上，这意味着原子处于其激发态，且腔内恰好有 nnn 个光子，其中 nnn 是一个非负整数。

求原子反转算符的期望值 ⟨σz⟩\langle\sigma_z\rangle⟨σz​⟩ 作为时间 ttt 的函数。请用 ggg、nnn 和 ttt 给出闭式解析表达式形式的答案。

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